План урока по дисциплине математика тема: «Декартова система координат»
методическая разработка по теме

ПЛАН  ПРОВЕДЕНИЯ УРОКА

По дисциплине:   МАТЕМАТИКА

Тема:  «ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ»

Цели занятия:

1. Иметь представление о системе координат и координат точки в пространстве; уметь пользоваться формулами для расстояния в координатах и для середины отрезка;
2. Развитие самостоятельности в овладении знаниями, способствовать развитию пространственного воображения студентов;

1. Повышение ответственности в результате своего труда.

Тип занятия: изучения нового материала.

Методы обучения:  изложение, рассказ, объяснение с демонстрацией наглядных  пособий.

Оборудование занятия:  Ноутбук, проектор, учебно-методическая     литература.

Ход занятия

1. Организационный момент.
2. Объяснение нового материала:

А) обсуждение;

B) система координат в пространстве;

С) координаты точки в пространстве;

D) расстояние;

Е) координаты середины отрезка.

3. Закрепление изучаемого материала.
4. Домашнее задание.
5. Итоги занятия.

1. Организационный момент:  сообщение темы занятия
2. Объяснение нового материала:

А)  Обсуждение:    

Наиболее широко применяется три пространственные системы координат.

Первая из них – прямоугольная или декартова

Вторая – цилиндрическая

Третья – сферическая система координат.

Точка на прямой  может быть задана одной координатой. Точка на плоскости определяется уже двумя координатами, так как при движении по плоскости  надо  знать, сколько  пройти   « вправо – влево »  и   « вперед – назад ». То при передвижении в пространстве нужно ещё знать величину перемещения « вверх – вниз ». Поэтому точка в пространстве будет определятся тремя координатами. Чтобы говорить о координатах точки в пространстве, необходимо прежде всего ввести систему координат.

В)   Система координат в пространстве.

Система координат в пространстве тесно связана с привычной для нас системой координат на плоскости заданной двумя осями  х  и  у .  Для того чтобы перейти к пространственной системе координат необходимо через точку начала координат провести ещё одну ось перпендикулярную осям  х  и  у . Эту ось обычно обозначают буквой z .

Рис.1

Три взаимно перпендикулярные прямые    x , y , z  пересекающиеся в точке  О , определяют систему координат в пространстве.

Точка  О  называется началом координат, а прямые x , y , z  - координатными осями: ось абсцисс, ось ординат и ось аппликат.

Начало координат разбивает каждую ось на две полуоси – положительную и отрицательную .

Рис.2

Плоскости, проходящие через две координатные оси называются координатными плоскостями.

Плоскость проходящая через координатные оси х и у называется плоскостью  Оху или просто плоскостью х у. Две другие плоскости проходящие через координатные оси называются плоскостями  Oxz , Oyz  или соответственно плоскостями  x z ,  y z .

Рис.3

С)   Координаты точки в пространстве.

В  пространстве каждая точка имеет три координаты  ( x , y , z )

Координатой точки называется число, равное по абсолютной величине расстоянию от данной точки до координатной плоскости.

Чтобы определить координаты точки в заданной системе координат необходимо найти расстояние от точки до каждой координатной плоскости, которое равно длине отрезка соединяющего точку с её проекцией на эту плоскость. И поскольку каждая координатная плоскость делит пространство на два полупространства , то знак координаты показывает в каком из полупространств расположена точка.

Рис.4

Координата по оси  х  или абсцисса точки определяет расстояние от точки до плоскости   y z .Если точка находится в том же полупространстве, что и положительная полуось  х , то абсцисса точки положительная.

Координата по оси  у  или  ордината точки определяет расстояние от точки до плоскости  x z .

Координата  по оси  z  или аппликата точки определяет расстояние от точки до плоскости  х у.

Координаты точки записывают в скобках рядом с буквенным обозначением точки в следующем порядке: абсцисса, ордината, аппликата.

Рис.5

Задача 1. Точка  D находится ниже плоскости  х у  на  расстоянии  2      Чему равна аппликата точки D?

Рис.6

Более просто и наглядно координаты точки можно определить следующим способом - что бы найти координату  х  данной точки  А  надо, провести через нее плоскость параллельную плоскости   y z .  Расстояние от точки пересечения этой плоскости с осью  х  взятое с соответствующим знаком и будет абсциссой точки.

Аналогично можно определить координаты  у  и  z .

Рис.7

Создателем  системы  координат считается  французский математик  Рене Декарт. (Сообщение из биографии).

Рис.7 Декарт.

Задача 2.  Точка  Q  находится на расстоянии равным  3  от плоскости  

                   x z . Чему равна ее ордината?

Рис.8

Поскольку  координаты  определяют ее  расстояние до координатных плоскостей, то когда одна из координат равна нулю это означает что точка лежит в координатной плоскости соответствующей ненулевым координатам.

Например:  Рис.9

Задача 3.  Дана точка К ( 0; -3; 8 ). В какой плоскости лежит точка К?

Рис.10

 Если две из трех координат точки равны нулю, то эта точка лежит на координатной оси, соответствующей ненулевой координате.

Рис.11

Если  все три координаты точки равны нулю, то точка находится в начале координат.

4. Расстояние.

Расстояние между двумя точками в пространстве можно вычислить, если известны координаты точек.

Рис.12

Расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей соответственных координат точек.

Задача 4.  Даны две точки М (-1; -3; 3) и L (2; 3; 5 ). Найти : ML.

Рис.13

Задача 5. Дано: А (0;1;-1), В (-1;0;1 ), С (0;-1;0 ).

                            D  C  Oxy , AD = BD = CD.

                  Найти:  D (x; y; z ).

Рис.14 ( рис 15 , рис 16 )

Е)  Координаты  середины отрезка.

В пространстве  как и на плоскости координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его  концов. 

Рис .17

Задача 6. Определить координаты четвертой вершины             параллелограмма, если известны координаты трех его вершин.

                  Дано: АВСD – параллелограмм  

                            А (2;1;0 ) , В (-1;1;2 ) , С (-3;4;3 )

                  Найти : D (x;y;z )

Рис. 18

3.  Закрепление изучаемого материала

Вопросы для закрепления.

1. Как вводится декартова система координат в пространстве? Из чего она состоит?
2. Укажите координаты проекций данной точки А (x;y;z ) на координатные оси   х,  у,  z   и  плоскости   x y , x z , y z .
3. Чему равно расстояние  между  двумя  точками  с заданными координатами?
4. Чему  равны координаты  середины  отрезка с данными  концами?

4.  Домашнее задание:  

Задача 1.

Задача 2.

                                                    Задача 3.