Методические указания для студентов по проведению практических занятий
методическая разработка

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Смоленская областная технологическая академия»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для студентов по проведению практических занятий

дисциплины

ОУД.04 Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Смоленск

2020

Методические указания предназначены для оказания помощи обучающимся в подготовке и проведении практических занятий, предусмотренных программой учебной дисциплины для освоения ФГОС среднего общего образования по математике.

Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий включают в себя предисловие, цели работы, пояснения к работе, задание, порядок и образец отчёта, контрольные вопросы, литературу, приложения. 

Текущие практические занятия представлены в логической последовательности, согласно учебному плану. Дано подробное описание конкретного практического занятия, контрольные вопросы или дополнительное задание к работе.

ПРЕДИСЛОВИЕ

УВАЖАЕМЫЕ СТУДЕНТЫ!

        Методические указания для обучающихся по проведению практических занятий  по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия » созданы вам  в помощь для работы на занятиях, правильного составления отчётов.        Приступая к выполнению задания, вы должны внимательно прочитать цели, ознакомиться с пояснениями к работе, содержащими краткие теоретические сведения по теме работы и методические рекомендации, ответить на контрольные вопросы.

        Практическое занятие содержит задание, состоящее из шести вариантов, включающих задачи, соответствующие указанным в ФГОС требованиям к уровню вашей подготовки. Выполнять задание,  делать выводы по проделанной работе  вы должны согласно инструкции преподавателя.

Отчёт о работе вы должны оформить по приведённому образцу.

        Наличие положительных оценок по практическим занятиям  необходимо для допуска к экзамену по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия». В случае отсутствия на учебном занятии по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие вы должны выполнить работу  или пересдать.

ВНИМАНИЕ! В результате выполнения заданий практических занятий по УД «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»  вы освоите умения        

•   решать прикладные задачи в области  профессиональной деятельности,

на основе знаний:

            – значения математики в профессиональной  деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

• основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
• основных понятий и методов математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;
• основ интегрального и дифференциального исчисления.

Желаем вам успехов!

ВВЕДЕНИЕ

В каждом познании есть столько науки,

сколько есть в нем математики.

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Советский академик А.Н. Колмогоров выделяет четыре периода развития математики: зарождение математики, элементарная математика, математика переменных величин, современная математика.

Понимание самостоятельного положения математики как особой науки стало возможным после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в IV – V веках до нашей эры. Это было началом периода элементарной математики.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших в связи с самыми простыми задачами хозяйственной жизни. Вместе с тем уже происходит качественное совершенствование математики как науки. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел. Создается алгебра как буквенное исчисление. А созданная древними греками система изложения элементарной геометрии – геометрии Евклида – на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употреблением переменных величин в аналитической геометрии и создании дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин.

На первый план выдвигается понятие функции. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу. Создание аналитической геометрии позволило существенно расширить предмет изучения геометрии благодаря найденному универсальному способу перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа – методу координат Р. Декарта. С другой стороны, открылась возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

XIX – XX века открывают период современной математики. Современная математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно – технических, гуманитарных исследованиях. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Современная математика изучает математические модели. Это могут быть как непосредственно математические модели реальных явлений, так и объекты для изучения этих моделей. Одна и та же модель может описывать свойства далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Для математики важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование является важнейшей составляющей в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

В данных методических указаниях вы найдете изложение теоретического материала, справочный материал, примеры решения задач, задания для самостоятельных занятий, для подготовки к контрольным работам, зачету, экзамену.

Методические указания не являются учебником, поэтому не все изучаемые понятия рассмотрены одинаково подробно. По этой причине в некоторых случаях необходимо приложить для освоения материала больше усилий, чем в других. В данном пособии рассматриваются элементы математики, относящиеся к периоду математики переменных величин и современному периоду, имеющие большое значение в современной фундаментальной и прикладной математике.

Работая над каждой темой, лучше всего сначала изучить теоретический материал, повторить ранее изученные формулы, теоремы, разобраться в приведенных примерах. Если все понятно, то можно переходить к выполнению практических заданий.

Академик И.П. Павлов говорил: «Последовательность, последовательность и последовательность. С самого начала своей работы приучите себя к строгой последовательности в накоплении знаний. Никогда не беритесь за последующее, не изучив предыдущего».

Учебные и воспитательные цели практических занятий

В рамках традиционного подхода:

1) актуализировать знания студентов из курса математики по теме занятия;

2) создать условия для развития творческой активности, самостоятельности и критичности мышления, умения работать в коллективе.

В рамках компетентностного подхода:

1) содействовать развитию у студентов общенаучных компетенций (аналитико-синтетической, прогностической, проектировочной);

2) создать условия для развития коммуникативной, адаптивной и информационной компетенций.

Данные указания предназначены для использования в средних профессиональных учебных заведениях, в учебных планах которых предусмотрена дисциплина «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия», соответствующая действующим программам. Представленные в указаниях основные математические структуры имеют настолько большую общеобразовательную и математическую значимость, что являются обязательными для рассмотрения студентами всех специальностей.

Требования к оформлению практических работ

После изучения соответствующей темы студенты выполняют практическую работу. Содержание практических работ полностью соответствует рабочей программе по математике.

К выполнению практической работы можно приступать только после изучения соответствующей темы и получения навыков решения задач. Предусмотренные задания носят репродуктивный, частично-поисковый и поисковый характер. Все задачи и расчеты обязательно должны быть доведены до окончательного числового результата. Вариант практической работы определяется по последней цифре порядкового номера списочного состава в журнале учебных занятий.

Все практические работы, сдаваемые учащимися на проверку, должны быть выполнены в обычной тетради в клетку (96 листов).

При выполнении практической работы студентам рекомендуется:

• использовать учебные пособия, справочники;
• проводить несложные дедуктивные рассуждения;
• обосновывать шаги решения задач;
• формулировать определения математических понятий;
• пользоваться математической терминологией и символикой;
• письменно оформлять решения задач;
• пользоваться калькулятором;
• самостоятельно изучать учебный материал.

Все представленные варианты практических работ даны одинаковой степени трудности.

Практическая работа выполняется в сроки, установленные в соответствии с календарно-тематическим планом. За каждую практическую работу студент должен получить положительную оценку.

Итоговой формой изучения дисциплины является экзамен для всех специальностей. Студенты, не выполнившие все практические работы, не аттестуются и к экзамену не допускаются.

Помните, что «царского пути» в математике нет и дорогу осилит только упорно идущий! Но, с другой стороны, не так страшна математика как ее малюют. Искренне желаю успехов!

Практическое занятие №1

 «Арифметические действия   над числами, сравнение числовых выражений»

Цели: в результате выполнения практической работы, обучающиеся должны уметь выполнять действия над числами, уметь сравнивать числа.

Сведения из теории:

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

1.  При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если это возможно сокращают. Например, ;  .

2. При сложении (вычитании) дробей с различными знаменателями нужно предварительно привести их к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило пункта 1. Например, ,  .

3.  При вычитании чисел, состоящих из целой части и дробной, из целой части уменьшаемого вычитают целую часть вычитаемого, а из дробной части уменьшаемого – дробную часть вычитаемого. Например, .

4. Если дробная часть вычитаемого больше дробной части уменьшаемого, то одну из единиц целой части уменьшаемого нужно заменить равной ей дробью. Например, .

5. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей, т. е. . При умножении чисел, состоящих из целой части и дробной, их предварительно представляют в виде неправильной дроби, а затем умножают. Например, .

6.  Деление дробей заменяют умножением дроби делимого на дробь обратную делителю. Например, .  .

Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную надо числитель дроби разделить на знаменатель. При этом может получится бесконечная десятичная периодическая дробь. Например, 3 : 7 = 0,(428571).

Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру  9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом. Например,  ,  .

Десятичные дроби сравнивают по разрядно как целые числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Обыкновенные дроби приводят к одному знаменателю и сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями (больше, та числитель которой больше). Например, 123,40536 > 123,40546,  –1, 0987 > –1,0997. Сравним дроби , ,    , , значит, .

Задание

Вариант 1

1. Сравните следующие пары чисел: а) 3,162354 и 3,162344, б) -2,17265 и -2,17572,  в)  и ,            г)  и .
2. Найдите значение выражения: а) ,б) ,в) ,                                           г) .

Вариант 2

1. Сравните следующие пары чисел: а) 33,106351 и 33,106341,   б) -21,01657 и -21,01658,                     в)  и , г)  и .
2. Найдите значение выражения: а) , б) ,                                        в) ,  г) .

Вариант 3

1. Сравните следующие пары чисел: а) 3,1623333… и 3,1623, б) -0,726 и -0,72666…,   в)  и ,  г)  и .
2. Найдите значение выражения: а) , б) , в) , г)
3. Обратите обыкновенные дроби в десятичные: а)  , б) , в) , г) .
4. Обратите периодические десятичные дроби в обыкновенные: а) 0,(6), б) 0,(3), в)  0,(72), г) 0,(42) .

Практическое занятие № 2

«Нахождение приближенных значений величин и    погрешностей вычислений»

Цель работы:

студент должен:

знать:

• формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешности суммы, разности, произведения и частного приближенных значений чисел;

уметь:

• вычислять сумму, разность, произведение и частное приближенных значений чисел.

Сведения из теории:

Абсолютной погрешностью приближенного значения а называют любое неотрицательное число ∆а удовлетворяющее неравенству , где А – точное значение.  

Относительной погрешностью приближенного числа а (а ≠ 0) называют неотрицательное число, удовлетворяющее условию .

В записи абсолютной и относительной погрешностей оставляют одну или две значащие цифры, округление при этом всегда производится с избытком.

Значащими цифрами называют все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева.

Значащая цифра приближенного значения а, находящаяся в разряде, в котором выполняется условие: абсолютная погрешность ∆а не превосходит половину единицы этого разряда, называется верной. Значащие цифры разрядов, где не выполняется данное условие, называются сомнительными.

Выявить верные цифры числа а можно по правилу:

Абсолютная погрешность округляется с избытком до одной значащей цифры  (обозначим эту цифру буквой d). Если цифра d ≤ 5, то все значащие цифры числа а левее того разряда, где находится d, будут верными. В противном случае последнюю (самую правую) из этих цифр следует признать сомнительной.

За абсолютную погрешность приближенного числа с известными верными  значащими цифрами принимается половина единицы того разряда, где находится последняя верная цифра.

Абсолютная погрешность суммы и разности двух приближенных чисел a и b равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых:

.

Для того чтобы вычислить абсолютную погрешность произведения и частного двух приближенных чисел надо вычислить вначале их относительную погрешность по правилу

; ,

а затем найти абсолютную погрешность по формуле

.

В промежуточных результатах вычислений обычно сохраняются одна-две сомнительные цифры, а окончательный результат округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры.

Сложение приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

Δ(a+b)=Δa+Δb,

где a и b – приближенные значения чисел; Δa и Δb – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности сумы вычисляется по формуле:

εa+b=.

Пример 1.

Найти сумму S приближенных значений чисел 6,8±0,05; 4,3±0,05 и 3,575±0,0005.

Решение:

вычислим сумму заданных чисел и сумму их погрешностей:

S=6,8+4,3+3,575=14,675;

ΔS=0,05+0,05+0,0005=0,1005.

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах 0,05<0,1005<0,5. В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц). Полученный результат округлим до единиц S=14,675≈15.

Вычитание приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности разности двух приближенных значений чисел равна сумме границ их абсолютных погрешностей:

Δ(a-b)=Δa+Δb.

Граница относительной погрешности разности вычисляется по формуле:

εa-b=.

Пример 2.

Вычислить разность двух приближенных значений чисел a=5,863±0,0005 и b=2,746±0,0005. Найти Δ(a-b) и εa-b.

Решение:

вычисляем границу абсолютной погрешности разности a-b:

Δ(a-b)=0,0005+0,0005=0,001.

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как Δ(a-b)>0,0005. Итак, a-b=3,117≈3,12. Абсолютная погрешность разности 0,001. В приближенном числе 3,12 все цифры верные. Находим относительную погрешность разности:

εa-b==0,00032≈0,03%.

Умножение приближенных значений чисел

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного) сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем границу абсолютной погрешности произведения (частного).

Формулы для границ абсолютной и относительной погрешности некоторых функций приведены в таблице 1.

Таблица 1. Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей.

Пример 3.

Найти верные цифры произведения приближенных значений чисел a=0,3862 и b=0,8.

Решение:

имеем 0,3862·0,8=0,30896. Границы абсолютной погрешности сомножителей равны 0,00005 и 0,05. По формуле  находим относительную погрешность произведения:

.

Находим границу абсолютной погрешности произведения:

Δ(ab)=0,30896·0,063=0,0195;

0,0050,0195 0,05.

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых): 0,30896≈0,3.

Пример 4.

Вычислить объем цилиндра V= πR2H, если R=45,8 см, H=78,6 cм.

Решение:

по формуле объема цилиндра, имеем

V= π·45,82·78,6=517000 (см3).

Используя формулу  и полагая π≈3,14, находим относительную погрешность:

.

Находим границу абсолютной погрешности:  

ΔV=V·εV=517 000·0,0044 = 2270 (см3).

Верными цифрами являются 5 и 1.

Деление приближенных значений чисел

Пример 5.

Найти границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел a=8,36±0,005 и b=3,72±0,004.

Решение:

имеем 8,36:3,72=2,25.

По формуле  находим относительную погрешность частного:

.

Находим границу абсолютной погрешности частного:

Δ(a/b)=2,25·0,002=0,0045.

Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.

Пример 6.

Вычислить X=, если известно, что a=7,2±0,05, b=3,46±0,03, с=5,09±0,04.

Решение:

находим ;

;

ΔX=X·εX=0,844·0,015=0,0127; X=0,844±0,0127 или X0,84±0,01.

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите сумму, разность, произведение и частное приближенных значений чисел:

Контрольные вопросы:

1. Перечислите действия над приближенными значениями чисел.
2. Перечислите формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций.

Литература: [4, с. 14-18]

Практическое занятие № 3

«Выполнение действий   над комплексными числами»

Цель работы:

студент должен:

знать:

• алгебраическую форму комплексного числа;
• тригонометрическую форму комплексного числа;

уметь:

• выполнять действия над комплексными числами, представленными в различных формах.

Сведения из теории:

Алгебраическая форма комплексного числа

Обозначим  и назовём мнимой единицей, (). Тогда число вида  где  - любые действительные числа, назовём комплексным числом.

Здесь а - называют действительной частью комплексного числа,  - называют мнимой частью, b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме

Пусть даны два числа  и .

Для этих чисел понятия равенство и действия сложения, умножения определены следующим образом:

1. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительная и мнимая части, т. е. а1=а2, b1=b2.
2. Суммой двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число .
3. Произведением двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число .
4. Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому комплексному числу на плоскости и вычисляется по формуле: .
5. Аргументом комплексного числа называется угол, образованный вектором с положительным направлением действительной оси и вычисляется по формуле: . Т. о. для каждого комплексного числа можно указать бесконечное множество аргументов.

Для нахождения аргумента необходимо:

1. Определить в какой координатной четверти находится комплексное число.
2. Найти в этой четверти угол решив уравнение:

.

Пример 7.

Решите квадратное уравнение: .

Решение:

вычислим корни квадратного уравнения через дискриминант:

Получена пара взаимно - сопряжённых комплексных чисел  где

Заметим, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть как действительные (различные или равные), так и комплексные (обязательно попарно взаимно – сопряжённые) корни.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме

Над комплексными числами в тригонометрической форме выполняются действия умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня n-ой степени.

Пусть даны два числа  и , тогда:

1) Произведением комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

2) Частным комплексных чисел называется комплексное число, которое вычисляется по формуле: .

3) Для возведения в степень: .

Пример 8.

Упростите: .

Решение:

упростим дробь (понизим степень числителя и знаменателя), используя ():

.

Подставим полученные выражения в исходную дробь и преобразуем её:

.

Пример 9.

Вычислите: .

Решение:

для первого комплексного числа используем формулу возведения в степень, а затем воспользуемся формулой произведения комплексных чисел:

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа  используется формула:

,

где - арифметический корень, .

Пример 10.

Решите уравнение: х2-2х+10=0.

Решение:

для решения воспользуемся обычными формулами вычисления корней квадратных уравнений:

Получили пару комплексных взаимно сопряженных корней.

Задания для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение алгебраической форме комплексного числа.
2. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме.
3. Дайте определение тригонометрической форме комплексного числа.
4. Перечислите действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Литература: [2, §1-5, с. 15-76]

Практические занятия № 4 - 7

«Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами»      

«Нахождение значений степеней с рациональным показателем. Сравнение степеней»

«Преобразование рациональных выражений»

«Преобразование выражений, содержащих степени»

Цели работ:

студент должен:

знать:

• основные показательные тождества;
• свойства степеней с действительными, рациональными показателями;

уметь:

• вычислять степени с действительными, рациональными показателями.

Сведения из теории:

Свойства степеней с действительным показателем:

1. ax/y=a(xk)/(yk), a>0, y, kЄN, xЄZ.

2. ax>0, a>0, xЄR (любая степень положительного числа положительна).

3. ax>1 при a>1, x>0.

4. ax<1 при a>1, x<0.

5. 1x=1 (любая степень единицы равна единице).

6. ax<1 при 0<a<1, x>0.

7. ax>1 при 0<a<1, x<0.

8. Если a>1, a≠1, то для любого положительного числа b существует единственное действительное число х такое, что ах=b при b>0.

9. Любая положительная степень нуля равна нулю.

Так же при упрощении выражений, содержащих степени пользуются формулами: a0=1, a≠0; am/n=, mЄZ, nЄN, n≥2.

Пример 11.

Решить уравнение: .

Решение:

т.к. степень уравнения 5 – нечетное число, то уравнение имеет один корень: .

Пример 12.

Упростите: .

Решение:

используя свойства степеней, имеем: 

.

Определение. Степенью числа а > 0 с рациональным показателем ,где  – целое число, а   - натуральное (n > 1), называется число вида .

Итак, по определению

Например,

Замечание 1. Из определения степени с рациональным показателем сразу следует, что для любого положительного   и любого рационального  число  положительно.

Замечание 2. Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. Значение   не зависит от формы записи числа . Т. е.    (по свойству корней n – ой степени).

Замечание 3. При < 0 рациональная степень числа  не определяется.

Свойства  степеней с рациональным показателем.

Пусть  принимают любые положительные значения.

Тогда:

9. Пусть r – рациональное число и  0 <  < .

Тогда < при > 0 , >  при < 0.

10. Для любых рациональных чисел и  из неравенства >  следует, что >  при    > 1, < при 0 <  < 1.

Пример 13.

Вычислите: .

Решение:

используя свойства степеней, имеем: 

Задания для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Перечислите основные показательные тождества.
2. Перечислите свойства степеней с действительными, рациональными показателями.

Литература: [15, с. 186-188]

Практические занятия № 8 – 10

«Нахождение значений логарифма по произвольному основанию»

«Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов»

«Логарифмирование и потенцирование выражений»

Цели работ:

студент должен:

знать:

• определение логарифма числа;
• формулы основного логарифмического тождества, логарифма произведения, частного, степени, перехода от одной системы логарифмов к другой;

уметь:

• вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Сведения из теории:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени (х), в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е. logab=x → ax=b.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойств, вытекающие из свойств показательной функции:

1. аlogab=b (где b>0, a>0 и a≠0) называют основным логарифмическим тождеством.

При любом a>0 (a≠0) и любых положительных х и у выполняются равенства:

2. loga1=0.

3. logaа=1.

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: logaxу=logax+logaу.

5. Логарифм частного равен разности логарифмов: loga(x/у)=logax-logaу.

6. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: logaxk=klogax.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Среди них формула перехода к новому основанию: logax=logbx/logba. Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при x>0, a>0 и a≠0, b>0 и b≠1).

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем:

logbx=logb(аlogaх), откуда logbx=logax·logba. Эту формулу так же можно использовать для упрощения выражений.

С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а натуральными логарифмами называют логарифмы по основанию е~2,72 и обозначают ln).

Пример 14.

Вычислите log0,37.

Решение:

воспользуемся формулой перехода к новому основанию и перейдем к основанию 10:

logax=logbx/logba

log0,37=log107/log100,3=lg7/lg0,3.

Пользуясь калькулятором или специальными таблицами, например, таблицей В.М. Брадиса, находим значение lg7=0,8451.

Используя 5 и 3 свойства логарифмов, вычисляем

lg0,3=lg(3/10)=lg3-lg10=0,4771-1=-0,5229.

Итак, log0,37=0,8451/(-0,5229)=-1,6162.

Пример 15.

Вычислите: (lg72-lg9)/(lg28-lg7).

Решение:

используя 5 и 6 свойства логарифмов, вычисляем

lg72-lg9=lg(72/9)=lg8=lg23=3lg2;

lg28-lg7=lg(28/7)=lg4=lg22=2lg2.

Итак,

(lg72-lg9)/(lg28-lg7)=(3lg2)/(2lg2)=3/2=1,5.

Пример 16.

Вычислите, используя определение логарифма числа .

Решение:

вычислим отдельно каждый логарифм:

Вернемся в пример:

Пример 17.

Вычислите, используя основное логарифмическое тождество: .

Решение:

используя свойство степени, разложим данное выражение на множители:

Используя 6 свойство логарифма степени, имеем:

Используя основное логарифмическое тождество, имеем:

Задания для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Перечислите свойства логарифмов.

Литература: [5, с. 232-235]

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите:

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Перечислите свойства логарифмов.

Литература: [5, с. 232-235], [15, с. 196-197]

Практическое занятие № 11

«Выполнение действий с корнями, степенями и логарифмами. Преобразование выражений»

Цель работы:

студент должен:

знать:

• правила преобразования рациональных, иррациональных, степенных выражений;

уметь:

• выполнять преобразования рациональных, иррациональных, степенных выражений.

Сведения из теории:

Преобразование алгебраических выражений, используя приведение дробей к общему знаменателю, формулы сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения:

;

;

;

;

где а, b, с – любые действительные числа;

,

где а≠0, х1 и х2 – корни уравнения .

Основное свойство дроби и действия над дробями

, где b≠0, с≠0;

;

;

;

.

Пример 18.

Упростите:

Решение:

решаем по действиям: 1) деление; 2) сложение; 3) вычитание.

1) Используя формулы сокращенного умножения разности квадратов: , суммы кубов , получим:

;

2) Для сложения приведем дроби к общему знаменателю :

3) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

Преобразование выражений, содержащих радикалы

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе необходимо и числитель и знаменатель дроби помножить на одно и то же число, сопряженное к знаменателю.

Пример 19.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе: .

Решение:

чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе необходимо и числитель и знаменатель дроби помножить на одно и то же число, сопряженное к знаменателю: , тогда получим:

Задания для самостоятельного решения:

Контрольные вопросы:

1. Какие формулы можно использовать при преобразовании алгебраических выражений?
2. Как можно освободиться от иррациональности в знаменателе?

Литература: [5, с. 281-283]

Литература

1. Афанасьев О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1991.
2. Афанасьев О.Н. Математика для техникумов. – М., Издательский центр «Академия», 2003.
3. Богомолов В.С. Основы высшей математики. – М., Издательский центр «Академия», 2007.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. – М.: Высшая школа, 2004.
5. Колмогоров А.Н., Абрамов А.Н., Дудницын Ю.П. и др.; Под ред. А.Н. Колмогорова. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.: ил.
6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш.шк., 1991. – 480 с.: ил.
7. Луканкин Г.Л. Высшая математика для экономистов: курс лекций: учебное пособие для вузов / Г.Л. Луканкин, А.Г. Луканкин. – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. – 285 с.
8. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н.Яковлева – М.: Наука, 1987 – Часть 1.
9. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н.Яковлева – М.: Наука, 1987 – Часть 2.