Цвет, как инструмент эффективной разработки информационных ресурсов.
статья

Применение фракталов в образовательном процессе, как способ формирования творческого мышления

"Математика, если на нее правильно посмотреть,

 отражает не только истину,

 но и несравненную красоту".

Бертран Рассел

В настоящее время возрастает интерес к применению методов фрактальной геометрии в различных областях науки и техники – физике,  астрономии, биологии, медицине, социологии, экономике, информационных и телекоммуникационных технологиях и др.

Исследование особенностей фрактальных моделей, для практического их использования – интересная задача, которая мотивирует на изучение нового, пробуждает интерес получить знания в такой области математики, как фрактальная геометрия, алгебраические фракталы, а также в области информатики – программирование фракталов и использовании их в дизайне.  До недавнего времени экспериментирование по использованию возможностей интерактивной фрактальнай графики - было привилегией небольшой группы специалистов, преимущественно ученых и инженеров, занимающихся вопросами анализа данных и математического моделирования. Теперь же исследование реальных и воображаемых миров через "призму" компьютеров стало доступно гораздо более широкому кругу людей.

Изучения фракталов в компьютерной графике в данное время актуально: широко применяются фракталы в области компьютерной графики, для получения изображений природных объектов (растений, гор, карт), при создании компьютерных игр. Другое перспективное направление – фрактальное сжатие изображений,  позволяющее добиться сверхвысокой степени сжатия с малыми потерями качества, что облегчает распространение продуктов.

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия, и имеющее разветвленную структуру, части которого подобны своему субъекту.

Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

История возникновения фракталов

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке.

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Джузеппе Пеано (1858—1932) — итальянский математик изобразил особую линию. Он брал прямую и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии. Далее он делал то же самое с каждым отрезком. И так до бесконечности. Уникальность такой линии в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве.

Во многих областях науки появлялись задачи, решение которых приводило к странным результатам (Броуновское движение, цены на акции). Этими вопросами занимались такие ученые как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и др. Вплоть до 20 века шло накопление данных о подобных явлениях без их систематизации. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии. Он работал в известной фирме IBM математическим аналитиком. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. В его работах использованы научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 годов. Но только в наше время Мандельброту удалось объединить их работы в единую систему, т.к. у него была возможность использовать великое достижение XX века – электронно-вычислительные машины.

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х  предложенные Бенуа Мандельбротом прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фракталы классифицируют по трём видам:

1. Алгебраические фракталы
2. Геометрические фракталы
3. Стохастические фракталы

Алгебраические фракталы

Алгебраические фракталы – это самая крупная группа фракталов, получившая название за использование алгебраических формул, которые выполняются до определенного условия.

Геометрические фракталы

Геометрические фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а, точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. Примерами таких кривых служат: кривая Коха (снежинка Коха), кривая Леви, кривая Минковского, кривая Пеано.

Снежинка Коха

Она строится на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число итераций – получится фрактал – снежинка Коха бесконечной длины.

Стохастические фракталы

Представитель данного класса фракталов - плазма. Для ее построения используется прямоугольник, для каждого его угла определяется цвет. Далее находится центральная точка прямоугольника, раскрашивается в цвет равный среднему арифметическому всех цветов по углам прямоугольника в некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более "рваным" будет рисунок. С помощью алгоритма, похожего на плазму, строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладывается текстура и т.д.. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ.

Фракталы в компьютерной графике

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения объектов, изменяя и комбинируя окраску фрактальных фигур, можно моделировать образы живой и неживой природы, а также составлять из полученных фигур «фрактальную композицию», такие как деревья, кусты, объемные рельефные горы, поверхности морей и т. д.

Фрактальная графика, так же как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Её главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений ничего, кроме формулы, хранить не требуется.

Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Это свойство фрактального объекта может быть использовано для создания орнамента или декоративной композиции.

Фракталы притягивают и завораживают своей красотой и бесконечностью, поэтому фракталы очень часто используют для создания различного рода визуализаций, видеоинсталляций, создания спецэффектов  при создании мультфильмов и фантастических художественных фильмов.

Сегодня в очень многих играх, где присутствуют разного рода природные ландшафты, используются фрактальные алгоритмы.

Фракталы так же применяются и в кино для создания различных фантастических пейзажей, как и в играх используются тот же принцип.

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют и виджеи в своих видеосетах. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки. Для этого используются так называемые программы виджеинга.

Фрактальное сжатие изображений.

Первым применением фрактальных алгоритмов стало фрактальное сжатие изображений. Фрактальное сжатие изображений — алгоритм сжатия изображений с потерями, основанный на применении систем итерируемых функций к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений.

Основа метода фрактального кодирования — это обнаружение самоподобных участков в изображении.

Такого понятия, как «фрактальный дизайн», еще не существует, но этот стиль уже обретает собственное название и прочные связи с остальными направлениями. Дизайнеры используют в своих работах структуры, только недавно описанные математиками. Начав с визуализации на мониторах, с внедрением новых программных сред и приложений, эти структуры постепенно обретали плоть стараниями многих людей.

Фрагмент «Фрактального культа» - "Fractal Cult" - установка, состоящая из двух типов структур в 2013 году фестиваля Burning Man, - ежегодного мероприятии искусства.

Одним из экспонатом был журнальный столик. Ножка для стола изготовлена из 36 отдельных стеклянных фракталов, с шестью различными конструкциями повторяющихся шесть раз. Каждая из 36 штук вручную разобрана, а затем сложена вместе с остальными, чтобы сформировать геометрические формы, это совершенно контрастируют с гладкой, чистой кристаллической столешницей.

Разработанный в сотрудничестве с Маттиасом Баром и основанная на более раннем прототипе под названием "Fractal-T", модель Fractal.MGX является журнальным столиком который получен в результате исследований фрактальной модели роста деревьев. Укрепление растущей связью между природой и математическими формулами, столик состоит из древовидных стеблей, которые делятся на более мелкие ветви, пока  не становятся очень плотными к вершине. Производено, как единое целое, без швов и соединений с помощью стереолитографии и эпоксидной смолы.

Необычный дизайн портативного компьютера, который может быть разбит на более мелкие части, каждая из которых представляет собой уменьшенную копию целого. Говорит дизайнер Педро Калле: "Fractal LiveBook - это все, что нужно, он может быть разделен на части, каждая из которых может работать как индивидуально, ноутбуки, колонки, музыкальные плееры и настройки их приложений и виджетов. Он также может работать вместе как одна консоль с различными сенсорными экранами с программами, меню, инструментами, палитрами, разделяя физическое рабочее пространство"

«Экспериментальный рост» - макро-инсталляция Арика Леви, является специфической работой по заказу BISAZZA для их постоянной коллекции. Архитектурный скульптура  - камера в скале, небольшая пещера, более 7-м в длину. Работа эмулирует внешний вид метеорита.

Фрактальные структуры часто используются для достижения максимальной производительности теплообменных поверхностей.

Карма - созданная корейским скульптором У Хо Су является семи-метровая башня из 98 вылитых из нержавеющей стали фигур, снизу более крупные и растянуты вверх до бесконечности, как фрактал

Наблюдая удивительное разнообразие применения фрактальных структур в повседневной жизни, можно сказать, что фрактальный дизайн стремительно развивается и позволяет привнести в жизнь немного удивительного и неповторимого кусочка будущего, уже сейчас становящегося настоящим.

Применение фракталов в телекоммуникациях.

В телекоммуникациях фракталы используются для создания фрактальных антенн. Фрактальные антенны – относительно новый класс электрически малых антенн (ЭМА), принципиально отличающийся своей геометрией от известных решений. Традиционная эволюция антенн базировалась на евклидовой геометрии, оперирующей объектами целочисленной размерности (линия, круг, эллипс, параболоид и т. п.). Фрактальные антенны с удивительно компактным дизайном обеспечивают превосходную широкополосную производительность в маленьком форм-факторе. Достаточно компактны для установки или встраивания в различных местах, используются для морских, воздушных транспортных средств, или персональных устройств.

Роль фракталов сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.