Вопросы к дифференцированному зачету по математике 1 семестр 38.02.03
учебно-методический материал

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Набережночелнинский институт (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Инженерно-экономический колледж

Фонд оценочных средств для промежуточной аттестации

по итогам освоения дисциплины

по дисциплине «Математика»

Практические задания к дифференцированному зачёту 1 семестр

1. а) Пусть (хо;уо) – решение системы

б) Найдите произведение хоуо.

2. а) Пусть (хо;уо) – решение системы

б) Найдите сумму хо + уо.

3. а) Решите неравенство

4. Решите неравенство

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение
7. а) Решите уравнение 2 .

   б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку .

8. а) Решите уравнение . 

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку .

9. а) Решите уравнение 1 + .

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку .

10. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

11. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

12. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

13. а) Решите уравнение:

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

15. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

16. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

17. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

18. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

19. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку

20. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−1; 2].

21.  Решите неравенство

22.  Решите неравенство:
23.  Решите неравенство:
24.  Решите неравенство:
25.  Решите неравенство: 
26.  Решите неравенство:
27.  Решите неравенство:
28.  Решите неравенство
29.  Решите неравенство:
30.  Решите неравенство

31. Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне АВ, а F лежит на стороне ВС, причём ЕF параллельна плоскости АDС. Р – середина АD, К – середина DC. Каково взаимное расположение прямых РК и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если угол АВС равен 40о и угол ВСА равен 80о?

32. Трапеция АВСD (АD и ВС – основания) и треугольник АЕD имеют общую сторону АD и лежат в разных плоскостях. Точка М лежит на стороне АЕ, а Р лежит на стороне DЕ, причём МР параллельна плоскости трапеции.Каково взаимное расположение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если угол АВС равен 110о? Поясните.
33. Основание АD трапеции АВСD (АD и ВС – основания) лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно. Каково взаимное расположение прямых ЕF и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если угол АВС равен 150о? Поясните.
34. В тетраэдре DABC углы DBA и DBC прямые, DB = 6, AB = BC = 8, AC = 12.  Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.
35. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 квадраты со стороной 4. Через середину ребра AD параллельно плоскости DA1B1 проведена плоскость. Постройте сечение и найдите его периметр.
36. В тетраэдре DABC точка М – середина AC, DB =6, MD = 10, угол DBM прямой. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости DMB, и найдите площадь сечения.
37. ABCDA1B1C1D1 – параллелепипед, все грани которого прямоугольники, AD = 4, DC = 8, CC1 = 6. Постройте сечение параллелепипеда, плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости AB1C1 и найдите периметр сечения.
38. В прямоугольном треугольнике АВС известно, что АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ медиана. Через вершину С проведена прямая СК = 12 см и перпендикулярная к плоскости треугольника АВС. Найдите КМ.
39. Точка А находится на расстоянии 3 см и 5 см от перпендикулярных плоскостей α и β. Найдите расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей α  и β.
40. Дан треугольник MPK. Плоскость, параллельная прямой MK, пересекает сторону MP в точке M1, а сторону PK в точке K1. Вычислите длину M1K1, если PK:PK1=9:5, MK=27 см.
41. В перпендикулярных плоскостях α и β расположены соответственно точки А и В. К линии пересечения плоскостей проведены перпендикуляры АС и ВД, причем АС= 12 см, ВД= 15 см. расстояние между точками С и Д равно 16 см. вычислите длину отрезка АВ.
42. Плоскость a проходит через точку N отрезка PF, причем PN:NF=2:7. Прямые PP1 , FF1 параллельны друг другу и пересекают плоскость a в точках P1 и F1. Найдите длину отрезка PP1, если FF1=6,3 дм.
43. Параллельные плоскости a и β пересекают прямую MN в точках А и В, а прямую MP в точках C и D соответственно. Найдите АВ, если АМ=5 см, СМ=8 см и DM=20см.
44. Плоскость a проходит через точку М отрезка АВ, причем АМ:МВ=5:3. Прямые АА1 , ВВ1 параллельны друг другу и пересекают плоскость a в точках А1 и В1. Найдите длину отрезка МВ1, если А1В1=18,8 дм.
45. Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С – параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В1 и С1. Найдите длину отрезка СС1, если точка С – середина отрезка АВ и ВВ1 = 7см.
46. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вершинами А(x1,y1,z1), B (x2, y2, z2), C (x3, y3, z3)  имеет координаты  .. Найдите координаты вершины А (х,у,z), если В(3,5,8), С(-1, -2, 6) и М(3,6,11).
47. Через точки P и Q прямой проведены прямые, перпендикулярные плоскости α и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ= 15 см, PP1= 21,5 см, QQ1=33,5 см.
48. Плоскость   пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках D и E соответственно, причем  AC ||  . Найдите AC, если BD:AD=3:4 и DE=10см.
49. Точка С лежит на отрезке АВ, причём АВ : ВС = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см. параллелен плоскости α, проходящей через точку В. Докажите, что прямая АD пересекает плоскость α в некоторой точке Е, и найдите отрезок ВЕ.
50. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причём ВМ : МВ1 = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причём AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани DD1C1C.
51.  В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре ВВ1, причём ВМ : МВ1 = 3 : 2, а точка N лежит на ребре AD, причём AN : ND = 2 : 3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани A1B1C1D1.
52.  В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М центр грани ВВ1С1С. Вычислите  угол между векторами   и .
53. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М центр грани ВВ1С1С. Вычислите  угол между векторами   и .
54.  В трапеции ABCD основание ВС = 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К – середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН.
55. Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N, P – середины отрезков BA, BC, BD соответственно. Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.
56. Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что расстояние от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны. Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм.
57. Прямая a параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что, а и CD – скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен 50о.
58.  Прямая a параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что, а и CD – скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен 121о.
59. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними.
60.  Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и AD скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними. Если угол АВС равен 128о.