Презентация по теме "Координаты и векторы в пространстве" с двумя проверочными работами
презентация к уроку
Представлена презентация по теме "Координаты и векторы в пространстве" в которой рассматривается построение точек в прямоугольной системе координат в пространстве, действия над векторами, нахождение скалярного произведение векторов, а также для проверки усвоения материала составлены две проверочные работы.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
razdel_koordinaty_i_vektory_v_prostranstvk.ppt | 2.2 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Вы уже знакомы с прямоугольной (Декартовой) системой координат на плоскости , которую в XIX в. ввёл французский математик Рене Декарт
А теперь, что мы подразумеваем под координатной плоскостью . у х 0 1 1 М а b M ( a ; b )
А, вот, прямоугольную систему координат в пространстве ввёл швейцарский математик Леонард Эйлер в XVIII в.
x y z 0 1 Ox Oy Oz Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Координатные оси: Выберем в пространстве три попарно перпендикулярные координатные прямые x , y , z , пересекающиеся в одной точке 0 , соответствующей началу координат каждой оси. 1 1 Пунктиром показаны отрицательные части осей.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х, у, z) , где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.
Построение точек в прямоугольной системе координат А(3;6;5) На оси Ох- отметить 3 единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Оу На оси Оу отметить два единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Ох Через точку пересечения двух прямых провести прямую параллельную оси О z , и отметить на ней 5 единичных отрезков вверх. х у z 0 3 6 А
1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; ( например, M Oyz , N Oxz , K Oxy ). x y z 0 1 1 1 Отметим некоторые свойства координат точек: 2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из координатных осей; (например, P Ox , S Oy , R Oz ). − 2 − 2 3 3 M ( 0 ; − 2; 3) N ( − 2; 0 ; 1) K (1; 3; 0 ) 2 2 − 2 P (2; 0 ; 0 ) R ( 0 ; 0 ; −2 ) S ( 0 ; 2; 0 )
Точка лежит на оси в координатной плоскости Ох (х,0,0) О z (0,0, z) Oxy (x,y,0) Oyz (0,y,z) O х z (x,0,z) Оу (0,у,0)
Найдите координаты точек А, В, С A (-1 ; 3 ; -6 ) B( - 2;-3; 4) y x z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O I I I В А I I I I I I I I I I С C( 3;-2; 6)
Формулы середины отрезка и расстояния между точками на плоскости.
Формулы середины отрезка и расстояния между точками в пространстве.
Задача № 2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2) Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.
Самостоятельная работа №1 1-вариант № 1. Отметьте точки в прямоугольной системе координат в пространстве: A(2 ;2;4), В(-3;-4;-5), С(-1;2;-3), О(0;2;3), К(0;0;4). № 2. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: а) А (3;-1), В (-2;4); б) А(3;4;-6), В(-5;-3;-8). 2-вариант № 1. Отметьте точки в прямоугольной системе координат в пространстве: A(3;3;5), В(-4;-3;-5), С(-4;2;3), О(1;-3;0), К(0;5;0). № 2. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: а) А (3;4), В (2;-1); б) А(-6;2;-3), В(-4;-6;-9).
Тема: «Действия над векторами в пространстве»
Дайте определение вектора. А В Вектором наз. направленный отрезок, имеющий определенную длину.
Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O
Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O
Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) = (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c a b c a c b Коллинеарные, сонаправленные векторы o a o c o b Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c b a Коллинеарные, противоположно направленные векторы b c Если векторы а { x 1 ; y 1 ; z 1 } и b { x 2 ; y 2 ; z 2 }, то:
№ 1.
Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c b b
Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности:
Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат. x z y O
Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: Нулевой вектор можно представить в виде: где x, y, z – координаты вектора а.
Решение задач № 2. № 3.
Правила действий над векторами с заданными координатами. 1. Равные векторы имеют равные координаты. Пусть , х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 ; z 1 = z 2 тогда ,
Укажите пары равных векторов № 4. Дано : А(2;7;-3); В(1;0;3); С(-3;-4;5); М(-2;3;-1) Определить : пары равных векторов Решение : Равны соответствующие координаты у векторов , , значит, они попарно равны Равны соответствующие координаты у векторов , значит, они попарно равны
Правила действий над векторами с заданными координатами. 2 . Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если то ,
Правила действий над векторами с заданными координатами. 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. Если то α – произв.число 4. Каждая координата разности двух векторов равна число равна разности соответствующих координат на этих векторов. Если то , ,
Выполнить задание устно: Даны векторы: Найти вектор равный:
№ 5. № 1. Д/З. № 6. № 2. Д/З.
Самостоятельная работа №2
Тема: «Скалярное произведение векторов»
Угол между векторами Угол между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. ) a b a b
a d b 30 0 a b = c f 30 0 a c = b c = d f = d c = 120 0 90 0 180 0 0 0 Найдите угол между векторами
Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов – число (скаляр).
a b a b = a b cos 90 0 = 0 a b = 0 a b Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0 Частные случаи = 0
Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b > 0 a b < 90 0 Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b < 0 a b > 90 0
№ 7.
Формула нахождения скалярного произведения через координаты векторов a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 {x 1 ; y 1 ; z 1 } {x 2 ; y 2 ; z 2 } b a
Пример 1) Найти скалярное произведение векторов: a {-6; 9} b {-1; 0} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 a b = -6 (-1) + 9 0 = 6
Пример 2)Найти скалярное произведение векторов : a {0; 0; 4} b {22; 1; 8} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 a b = 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32
Пример 3)Найти скалярное произведение векторов: a {1; 7; 9} b {-2; 4; 0} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26
Д/з. Найти скалярное произведение векторов: a {1; 10; 7} b {0; 7; 0} 2) a {7; 25; 0} b {11; 0; 54} 1)
Формула нахождения угла между векторами через скалярное произведение
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
План практического занятия (проверочная работа) 2курс
План проверочного практического занятия по дисциплине "Внутренние незаразные и инвазионные болезни" на 2 курсе по теме: "Общие клинические методы исследования животных"....
Проверочная работа по окружающему миру "Свойства воды и воздуха"
Данная проверочная работа содержит тестовый материал для проверки знаний учащихся в рамках учебного предмета окружающий мир по теме "Свойства воды и воздуха"....
Проверочная работа по окружающему миру "Свойства воды и воздуха"
Данная проверочная работа содержит тестовый материал для проверки знаний учащихся в рамках учебного предмета окружающий мир по теме "Свойства воды и воздуха"....
Проверочная работа по химии "Теория строения органических веществ"(2 варианта)
Проверочная работа для проведения текущего контроля по основам оргаческой химии, может быть использована для дифференцированного контроля....
Проверочная работа по химии "Теория строения органических веществ"(2 варианта)
Проверочная работа для проведения текущего контроля по основам органической химии, может быть использована для дифференцированного контроля....
Презентация "Проверочная работа"
Проверочная работа...
Проверочная работа по теме: "Работа с конфиденциальной документацией"
Учебная практика по ПМ.01 «Документационное обеспечение деятельности организации»Тема практического занятия: «Работа с конфиденциальными документами»Тип урока: формирован...