Опорные конспекты
учебно-методический материал

Простейшие логарифмические неравенства

1. Неравенство loga f(x) < b в случае, если 0 < a < 1 

    сводится к неравенству

    f(x) > ab.

   Если a>1, то к неравенству  f(x) < ab.

   Примеры:

       1)x < -2                                0  <   < 1.

       x > ()-2;     x > 9.                            (9;+∞). 

      2) < -2.                                    3 > 1.

       x < 3-2 , x <  .                                   (-∞;)

2) Неравенство logaf(x) > b в случае, если 0 < a < 1 равносильно неравенству f(x) < ab.

Если a > 1, то неравенству f(x) > ab.

Примеры :

          1) 4x > -2                              0 <   < 1

            4x < ()-2, 4x < 25;  4x < 25;  x <,

                x < 6,25.             (-∞; 6,25).

          2) log54x > 2                                     5>1.

             4x > 52        ,         4x > 25   ,          x >.

             x > 6,25.                (6,25; +∞).

3) Неравенство loga f(x) < loga g(x) , если 0 < a < 1 

равносильно системе:

Если a > 1, то равносильно системе:

Примеры:

    1) log0,6(2x-1) < log0,6x.          0 < 0,6 < 1

                      (1;+∞). 

      2) log6(2x-1) < log6x                       6>1

                                                                    ().

Неравенство loga f(x) > loga g(x)

4) Если 0 < a < 1 , то

 если a > 1

Логарифмическая функция ее свойства и график

Ⅰ   logab=x , ax=b-понятие логарифма.

 1) log39=2, т.к log332=2.

 2) log327=log333=3.

 3) log216=log224=4.

 4) log232=log225=5.

 5) log16=-4=-4.

 6) =-4=-4.

 7) log5=log55-4=-4.

 8) log0,110==)-1=-1.

 9) log279==.

10) log1255=

11) log8127==.

Ⅱ  Определение: функция y=logax (x∈R, a > 0, a≠1)

называется логарифмической.

     Свойства:

  1  Область определения : R+ (множество всех действительных, положительных чисел).

  2  Множество значений функции вся числовая прямая.

  3  loga1=0, logaa=1

  4  Функция y= logax(1 < a < ∞ ) возрастает на промежутке (0;∞) Рис 1.

5  Функция y=logax(0 < a < 1) убывает на промежутке (0; +∞).Рис 2.

Ⅲ Найти область определения функций:

а) y=

           8-2x>0, -2x>-8,  x<4

           Ответ: (-∞;4).

б)y=

   2x+6>0, 2x>-6 , x>-3

Ответ: (-3;+ ∞).

Ⅳ Построить в одной системе координат графики функций: а) y= , б) y=+3, в) -3,

г) -2).

а) y=                                                               

б) y=

Чтобы найти значения y надо к значениям под буквой a прибавить 3.

в) y=   

Чтобы найти значения y надо к значениям под буквой a отнять 3.

г) y=

y=

Самостоятельно:

1) Найти область определения ф-й:

   а) y=

   б) y=

2) Построить графики функций:

y=; y=; y=;

Область определения и множество значений функции. График функции.

Определение1. Областью определения функции называется множество точек числовой оси, в которых функция имеет действительные значения.

Пример 1: Найти область определения функции

y=1-x2.

При любом действительном значении x функция y принимает также действительные значения ; потому область определения –вся числовая ось, или промежуток -∞

Пример 2: Найти область определения функции y=
1-≠0, x≠±1. – не входят в область определения.

Вся область определения состоит из трёх промежутков:

(-∞;-1)   (-1;1)  (-1;1)       (1;+ ∞).

Пример 3:Найти область определения функции y=+

Составим систему неравенств:

решите ее:  

3

1  Построение графика функции упрощается, если по уравнению y=f(x) можно обнаружить некоторые свойства данной функции: 1)график четной функции-кривая , симметричная относительно оси ординат (рис 1);

2) график нечетной функции симметричен относительно начала координат(рис 2)

3) функция называется возрастающей на данном промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

4) функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка меньшее значение функции.

Задание:

1) Найти область определения функций:

 а)y=; б) y=; в

 в) y=;

2) Построить(схематично) график функции: y= 

Иррациональные неравенства

1)Неравенство вида:  равносильно системе неравенств:  

2)Неравенство вида: >g(x) равносильно системе:

 Примеры:

a)  >7.   

б)<-3-решений нет. Так как ни при каком значении x корень четной степени не может быть<-3.

в)>x+1.    (неравенство 2 вида).

D=1-4(-2)=9

x1,2=

Решаем систему

г) Неравенство равносильно системе 1.

-x-12=0.

       D=1-4(-12)=49.