Методическое пособие Матрицы и определитель
методическая разработка

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образовательного

«Санкт-Петербургский политехнический колледж»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

для студентов 2 курса

по дисциплине «Математика»

Тема: «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Разработал

Преподаватель:                                                Е.А. Кузьменко

2019

Санкт-Петербург

Разработчик                                         Кузьменко Е.А., преподаватель

СПбГБПОУ  «Санкт-Петербургский политехнический колледж

Рецензент :                                          Никитина Е.В., преподаватель

СПбГБПОУ  «Санкт-Петербургский политехнический колледж

ВВЕДЕНИЕ

В современных условиях специалист среднего звена должен получить более широкую подготовку, чтобы иметь возможность продолжить образование и самообразование, быть востребованным на рынке труда. Это осуществимо при наличии хорошей подготовки специалиста по основополагающим дисциплинам, к которым относится и математика.

Данное методическое пособие будет предназначено для студентов II курса по специальностям:

13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)

22.02.06 Сварочное производство

15.02.08Технология машиностроения

23.02.02 Автомобиле- и тракторостроение

22.02.05 Обработка металлов давлением

22.02.03 Литейное производство

22.02.04 Металловедение и термическая обработка металлов

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям)

09.02.03 Программирование в компьютерных системах

40.02.02 Правоохранительная деятельность

изучающих дисциплину «Математика» по учебной программе  в объеме 64 часа, т.к. большая часть объема учебной нагрузки студентов отведена на самостоятельную работу, то целью данного пособия является помощь студентам выработать навыки  решения практических задач по математике по теме «Матрицы и определители». Пособие не заменяет учебник, но помогает как в усвоении теории, так и в приобретении навыков решения задач. Оно включает в себя основной теоретический материал и образцы решения типовых задач.

Пособие будет полезно тем студентам, которые по различным причинам не смогли посетить все учебные занятия по данной теме.

Также оно будет полезно для подготовки к практическим занятиям, для более успешного понимания и усвоения материала.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Общая характеристика матрицы

Матрицей размерности m*n называется таблица чисел (элементов), содержащая m строк и n столбцов.

В алгебраических выражениях часто используются специального вида матрицы:

Θ — нулевая

D — диагональная

E — единичная

Если в матрице А переставить соответствующие строки и столбцы местами, то получится матрица Ат , которую называют транспонированной матрицей А.

Пример:

Если число строк и столбцов матрицы совпадает и равно n, то матрица называется квадратной n-го порядка.Две матрицы А и В одинаковой размерности равны, если все соответствующие элементы матриц равны.

Действия над матрицами

Умножение матрицы на число. Любую матрицу можно умножить на любое число, при этом все элементы матрицы умножаются на это число.

Сложение матриц. Две матрицы А и В одинаковой размерности можно сложить, при этом все соответветствующие элементы матриц складываются.

Свойства линейных операций

Умножение матриц

Две матрицы можно умножить, если число строк второй матрицы равно числу столбцов первой матрицы. При умножении матриц получается матрица, число строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы.

Элементы матрицы произведения С = АВ находятся по формуле:

где l — число строк второй и число столбцов первой матриц.

Свойства умножения матриц:

 (где Е — единичная матрица)

Пример. Произведите умножение матриц

Всегда: строки первой матрицы умножаются на столбцы второй матрицы, то есть никогда не будет ситуации когда необходимо будет умножать столбцы первой на строки второй!

Важно: матрицы при умножении нельзя менять местами!!! — результат умножения будет другим

Обратная матрица

Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Единичная матрица — такая квадратная матрица, у которой все элементы по главной диагонали, проходящей от левого верхнего угла к правому нижнему углу, — единицы, а остальные — нули, например:

Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц т.е. для тех матриц, у которых число строк и столбцов совпадают.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица А = (А1, А2,...Аn) называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы . Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Записать в таблицу для решения систем уравнений методом Гаусса матрицу А и справа (на место правых частей уравнений) приписать к ней матрицу Е.

Используя преобразования Жордана, привести матрицу А к матрице, состоящей из единичных столбцов; при этом необходимо одновременно преобразовать матрицу Е.

Если необходимо, то переставить строки (уравнения) последней таблицы так, чтобы под матрицей А исходной таблицы получилась единичная матрица Е.

Записать обратную матрицу А-1, которая находится в последней таблице под матрицей Е исходной таблицы.

Пример. Для матрицы А найти обратную матрицу А-1

Решение: Записываем матрицу А и справа приписываем единичную матрицу Е. Используя преобразования Жордана, приводим матрицу А к единичной матрице Е. Вычисления приведены в таблице 31.1.

Проверим правильность вычислений умножением исходной матрицы А и обратной матрицы А-1.

В результате умножения матриц получилась единичная матрица. Следовательно, вычисления произведены правильно.

Ответ: 

Определитель матрицы

Для любой квадратной матрицы может быть найдена величина, называемая определителем.

Определитель — это квадратная таблица чисел или математических символов (Δd).

Для матрицы второго порядка определитель вычисляется по формуле:

Разложение по строке или столбцу

Формулы разложения по строке или столбцу:

Первые n формул называются формулами разложения определителя по строке, а вторые n формул называются формулами разложения определителя по столбцу.

В этих формулах - алгебраические дополнения элементов аij матрицы А, где Mij — миноры элементов аij матрицы А.

Минором Mij элемента аij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент aij/

Правило Саррюса

Дописывание двух первых строк или столбцов.

В этом случае считаем так: a11*а22*а33 + а12*а23*31+а13*а21*а32 — а13*а22*а31 — а11*а23*а32 — а12*а21*а33

Пример

Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника.

Решение:

Свойства определителей

Свойство 1.
Определитель не изменится, если все строки заменить соответствующими столбцами и наоборот.

Свойство 2.
При перестановке двух каких-либо строк или столбцов местами определитель изменяет знак.

Свойство 3.
Определитель равен нулю, если он имеет две равные строки (столбца).

Свойство 4.
Множитель, общий для всех элементов строки или столбца, можно выносить за знак определителя.

Свойство 5.
Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, то определитель не изменится.

Следствие из свойств 32.4 и 32.5: Если к элементам какой-либо строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Свойство 6.
Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки или столбца равна нулю.

Пример. Вычислить определитель, используя свойства:

Решение:

1. Третью строку умножим на подходящие множители и прибавим к остальным:

получим:

Метод Крамера

Решение систем уравнений

Пусть имеется система уравнений:

Обозначим через Δ определитель матрицы системы и через Δj определитель, который получается из определителя Δ заметой j-го столбца столбцом правых частей системы ( j=1,2,...n).

Теорема.

Если определитель матрицы отличен от нуля, т.е. Δ ≠0, то система имеет единственное решение, которое находится по формуле: