Золотое сечение, внеклассное мероприятие
методическая разработка на тему

МИНИСТЕРСТВО ЛЕСНОГО ХОЗЯЙСТВА РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

ГБПОУ «Уфимский лесотехнический техникум»

«Золотое сечение»

Внеклассное мероприятие

Подготовила и провела

преподаватель математики и информатики

Аюпова Э.Х. _________________________

Уфа

2017

Аннотация

Данное внеклассное мероприятие способствует повышению интереса к изучению математики. Учащиеся учатся видеть математику в природе, вокруг себя, узнают, где применяются математические знания. Это мероприятие проводится с применением мультимедийного  оборудования.

Цель мероприятия: Изучение понятия «Золотое сечение»,

Золотое сечение в математике – аналитическое и геометрическое решение пропорции   .

 Развивать чувства прекрасного. Активизировать мыслительную деятельность, пробуждая стремление к творчеству и живому восприятию красоты. Расширяя кругозор, способствовать пробуждению интереса к математике.

Задачи:

1. Ознакомиться с понятием Золотое сечение.

2. Показать математические свойства золотой пропорции описать геометрический смысл «золотого сечения»

3. Научиться делить целое в отношении золотой пропорции.

4. Проследить этапы возникновения «золотого сечения» в науке.

5. Изучить пентаграмму, золотой треугольник и золотую спираль.

5. Применение золотой пропорции в жизни. Практическая значимость.

Содержание:

«золотое сечение», деление отрезка в золотом отношении, числовое значение золотого отношения, «пентаграмма», «золотой треугольник», «золотая спираль».

“…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора
и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота,
то второе – с драгоценным камнем”.

(Иоганн Кеплер)

Здравствуйте ребята! Сегодня у нас увлекательная тема – Золотая пропорция. И начну я рассказ с цитаты:

«Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства»

Так говорил Бертран Рассел -  британский философ, общественный деятель и математик.

Наверное, каждый из вас не раз задумывался над вопросом, почему Природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие. В чем же секрет их Гармонии и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий?

Поиски этих законов, «Законов Гармонии Мироздания», начались еще в античной науке. Именно в этот период ученые приходят к ряду удивительных открытий. Одним из математических открытий античной науки являются правильные многогранники, которые получили название «Платоновых тел».

- Посмотрите на картинки которые вы видите на экране. Что это за тела и как они называются?

- Да, это правильные многогранники.

Человек проявляет интерес к правильным многоугольникам и многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие – в виде вирусов, которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа.

Что такое правильный многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны (или конгруэнтны) между собой и при этом являются правильными многоугольниками.

- Сколько же существует правильных многогранников? 

На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. И в «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные пятиугольники).

Рассмотрим ближе эти тела и как они построены

Первый из них – это тетраэдр. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр.

Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом.

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром.

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен — ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Эти 5 тел занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Платон предписал каждому из этих тел один из элементов лежащих в основе мира. Тетраэдр символизировал –Огонь, Октаэдр –Воздух, Икосаэдр – Вода, Гексаэдр – Земля и Додекаэдр символизировал Космос в целом он воплощал в себе «все сущее», «Вселенский разум», символизировал все мироздание и считался главной геометрической фигурой мироздания.

Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

Необходимо подчеркнуть, что геометрия додекаэдра и икосаэдра непосредственно связана с золотой пропорцией.

додекаэдр имеет 12 граней, 30 ребер и 60 плоских углов на своей поверхности. Если исходить из гипотезы, что египтяне знали додекаэдр и его числовые характеристики 12, 30. 60, то каково же было их удивление, когда они обнаружили, что этими же числами выражаются циклы Солнечной системы, а именно, 12-летний цикл Юпитера, 30-летний цикл Сатурна и, наконец, 60-летний цикл Солнечной системы. Таким образом, между такой совершенной пространственной фигурой, как додекаэдр, и Солнечной системой, существует глубокая математическая связь! Такой вывод сделали античные ученые. Это и привело к тому, что додекаэдр был принят в качестве «главной фигуры», которая символизировала Гармонию Мироздания

Так что же это – ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ?

Золотая пропорция - это математическая пропорция, выражающая Гармонию. 

Феномен золотого сечения известен человечеству очень давно.

Его тайну пытались осмыслить Платон, Пифагор, Евклид, Леонардо да Винчи, Кеплер и многие другие крупнейшие мыслители человечества. Они неразрывно связывали золотое сечение с понятием всеобщей гармонии, пронизывающую вселенную от микромира и макрокосмоса.

Понятие «гармония» было введено в науку на заре развития человеческой цивилизации и важно подчеркнуть, что математика гармонии непосредственно ассоциируется с «золотым сечением».

Золотое сечение - это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве – во всем, с чем может соприкоснуться человек.

«С точки зрения Платона, да и вообще с точки зрения всей античной космологии мир представляет собой некое пропорциональное целое, подчиняющееся закону гармонического деления - золотого сечения». 

То есть существует такая золотая точка на любом отрезке, которая обеспечивает, присутствие красоты, соразмерности всех частей и эта точка называется Золотым сечением.

“золотое сечение” – это такое  деление целого на две такие части, при котором целое так относится к большей части, как большая к меньшей.
A : B = B : C

Решаем пропорцию A : B = B : C
 А*С=В² т.к. С=А-В, то получим А²-АВ-В²= 0.
Разделив на В² и обозначив А:B=x мы приходим к следующему алгебраическому уравнению
х²-х-1=0
Решением является положительный корень х=(1+√5)/2 ≈ 1,618…Отношение А:В обозначают буквой Ф = 1,62.

• Ф – не зависит от длины отрезка и называется числом Фидия.
• В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Число Ф называется также золотым числом.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом, отражающим структуру и порядок нашего мироустройства. Познакомимся с золотым сечением поближе — оно того заслуживает.

Алгебраические свойства золотой пропорции

Представим уравнение золотой пропорции

х²-х-1=0 в следующем виде: х²=х+1.

Если корень Ф (золотая пропорция) подставить вместо х, то получим следующее замечательное тождество:

Ф²=Ф+1.

Если все члены тождества разделить  на Ф, то придем к следующему выражению:

Ф=1+1/Ф или Ф-1=1/Ф.

Проанализируем, тождество. Известно, что любое число а имеет обратное к нему число 1/а. Например, дробь 0,1 является числом, обратным к 10. Традиционный алгоритм получения обратного числа 1/а из исходного числа а состоит в делении числа 1 на число а. Это довольно сложная процедура. Попробуйте, например, путем деления получить число, обратное к числу а = 357821,093572. Это можно сделать только с помощью современного компьютера.

Рассмотрим теперь «золотую пропорцию» Ф = . Как получить из нее обратное число 1/ Ф? Выражение выше дает очень простой ответ на этот вопрос. Для этого достаточно вычесть единицу из «золотой пропорции»

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.)

Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέ- σος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Итак, «Золотое сечение» лежит в основе 
правильного пятиугольника (пентаграмма)

В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении (на приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны φ. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды (которое равно зелёному отрезку), также равно φ).

Название «пентаграмма» происходит от греческого слова «pentagrammon» (pente – пять и grammon – линия) и означает правильный пятиугольник(пентагон), на сторонах которого построены равнобедренные треугольники одинаковой высоты. Доказано, что точки пересечения диагоналей в пентагоне всегда являются точками золотого сечения. При этом они образуют новый пентагон. В новом пентагоне можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один пентагон и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, пентагон как бы состоит из бесконечного числа пентагонов, которые каждый раз образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом.

И это настолько совершенно и так красиво, что указывает нам творческую реальность стоящим за всем сущим.

Золотое сечение есть одно из основных геометрических свойств пентаграммы. Трудно найти объект, в котором эта пропорция проявилась бы более наглядно. Логично предположить, что именно пятиконечная звезда «подсказала» древним наблюдателям золотую пропорцию.

Пятиконечная звезда с древних времен символ совершенства, а в средние века ее наделяли еще магическими свойствами. Вспомните «Фауста» Гете (в переводе Н. Холодковского):

Мефистофель:

Нет, трудновато выйти мне теперь
Тут кое-что мешает мне немного:
Волшебный знак у вашего порога.

Фауст:

Не пентаграммаль этому виной?
Но как же, бес, пробрался ты за мной?
Каким путем впросак попался?

Почему ей приписывали магические свойства? Во-первых, конечно, ее подобию звездам реальным, недосягаемым и «непознаваемым». А, во-вторых, ее действительно чудесные, но геометрические, а не магические, свойства. Можно только догадываться, в какой восторг приводило ученых столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Аристотель (384—322 гг. до н.э.) видел в пентаграмме прекрасное, ибо по его учению важнейшие виды прекрасного — это слаженность, соразмерность и определенность

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.

Каждый «золотой» равнобедренный треугольник имеет острый угол A=36° при вершине и два острых угла D=C=72° при основании треугольника. Основная особенность «золотого» равнобедренного треугольника состоит в том, что отношение каждого бедра AC=AD к основанию DC равно золотой пропорции Ф.

Исследуя «золотой» равнобедренный треугольник, как часть пентаграммы, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB пентагона и делит сторону AC в точке H золотым сечением. При этом возникает новый «золотой» треугольник DCH. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H1 и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последовательность «золотых» равнобедренных треугольников.

Бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры («золотого» треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство ритма и гармонии.

В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пятилепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других цветов.

Каждые восемь лет планета Венера описывает абсолютно правильный пентакль по большому кругу небесной сферы. Древние астрономы заметили это явление и были так потрясены, что Венера и ее пентакль стали символами совершенства, красоты. Как бы отдавая дань этому явлению, древние греки устраивали Олимпийские игры каждые восемь лет.  

Сегодня лишь немногие знают, что современные Олимпиады следуют половинному циклу Венеры. Еще меньше людей знают о том, что пятиконечная звезда едва не стала символом Олимпийских игр, но в последний момент его модифицировали: пять остроконечных концов звезды заменили пятью кольцами, по мнению организаторов, лучше отражающими дух участия и гармонию Олимпийских игр.

Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал её и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение её шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Ещё Гёте подчёркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетёт паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Сегодня в любом искусстве пространственных форм стараются следовать пропорциям золотого сечения, так как они, по мнению искусствоведов, облегчают восприятие произведения и формируют у зрителя эстетическое ощущение.

Предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение

Золотое сечение - это один из основных основополагающих принципов природы и человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона, созданного знаменитым древнегреческим архитектором Фидием, присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Итак, “Золотое сечение” – не середина, а пропорция – несложное математическое соотношение, содержащее в себе “закон звезды и формулу цветка”, рисунок на хитиновом покрове животных, длина ветвей дерева, пропорции человеческого тела. Видишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле. Во времена Возрождения для проверки “закона гармонии” измеряли античные статуи, полтора века назад пропорции “золотого сечения” проверяли, соотнося длину ноги и туловища гвардейских солдат, – все совершенно точно.

Принцип золотого сечения основан на самой гармоничной в мире пропорции, которой подчиняются многие законы природы. Все, что привлекательно для взора, интуитивно кажется пропорциональным, так или иначе имеет отношение к золотому сечению.

Мир природы - это прежде всего

мир гармонии,

в которой действует

"закон золотого сечения".

Итак, ребята после пройденной темы мы с уверенностью можем сказать, что:

Математика – это не только стройная система законов, теорем, задач, но и уникальное средство познания красоты. Красота многогранна и многолика.

Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована, “Золотое сечение”– это иррациональное число, приблизительно равно 1,618. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Задача 1. Начни с золотого прямоугольника. Отрежь от него квадрат – и ты получишь маленький, но по прежнему золотой прямоугольник.

А теперь попробуй отрезать другой квадрат! Сделай вывод.

Задача 2. Древнегреческие математики не имели микрокалькуляторов для облегчения своих исследований. Вместо этого им приходилось полагаться на точность построений с помощью циркуля. Тем не менее они сумели открыть чудесные свойства золотого прямоугольника 1×1, 618.

Одно из открытий касалось прямоугольника 0, 618 × 1. Является ли этот прямоугольник золотым? Во сколько раз его площадь меньше площади прямоугольника 1 × 1, 618?

Заключение

В работе любого учителя внеклассная работа по предмету является наиболее эффективной, т.к. именно она повышает мотивацию при обучении, активизирует учебные коммуникативные умения и навыки учащихся, расширяет базовые знания учащихся о мире. ребята с удовольствием принимают участие в таких внеклассных мероприятиях. Данная разработка внеклассного мероприятия для студентов 1 курса по специальностям ТЭМ, ЗУ, ЛХ, а также может быть использована учителями других предметов.