МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ « МАТЕМАТИКА» (тема «Интегральное исчисление») Специальность 100701 Коммерция (по отраслям)
методическая разработка на тему

Публикуется на основании решения Методического совета  ГБОУ СПО ЧГК, Протокол №1 от 23.09.2014 года

Составитель:         Григорьева Л.Н., преподаватель математики ГБОУ СПО «Чапаевский губернский колледж»

Редактор:         Следкова М.П., заместитель директора по учебно-методической работе образовательной программы среднего профессионального образования ГБОУ СПО «Чапаевский губернский колледж»;

Рецензент:         Мануковская О.Б., начальник учебно-методического управления Самарского филиала Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования высшего профессионального образования «Московский городской педагогический университет»

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине Математика  специальности 100701 Коммерция (по отраслям)

Методические указания и контрольные задания для самостоятельной работы студентов по учебной  дисциплине «Математика» (тема «Интегральное исчисление» могут быть использованы в организации учебного процесса в  аудиторное и внеаудиторное время для работы над изучением данного материала.

Содержание

1. Введение

Учебная дисциплина «Математика» является образовательной учебной дисциплиной в цикле математических и общих естественно - научных дисциплин, которая обеспечивает необходимый уровень подготовки специалиста.

Настоящее пособие содержит систематизированное  изложение основных понятий теории пределов и непрерывности функций, которые являются одним из разделов курса «Математика»,  соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности 100701 Коммерция (по отраслям).

В результате изучения данного раздела студент должен:

знать:

• основы интегрального исчисления;

 уметь:

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

В пособии представлено достаточное количество примеров, задач, заданий на закрепление изученного материала для самостоятельной работы и вопросов для самоконтроля.

В каждом параграфе приведены краткие теоретические сведения, описаны приемы и образцы вычисления пределов функций, раскрытия неопределенностей различного вида, а затем представлены вопросы для контроля усвоения изученного  и задания для самостоятельной работы.

Такая форма изложения позволяет студентам сначала кратко познакомиться с теоретическими фактами, приемами решения типовых задач и оформлением записи их решений, а затем приступить к выработке умений в их самостоятельном решении.

2. Содержание темы «Интегральное исчисление»

В результате изучения данной темы  студент должен:

знать:

• основы интегрального исчисления;

уметь:

• решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод замены переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Определенный интеграл, его свойства. Основная формула интегрального исчисления. Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

2.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл

Пусть у = F(х) имеет производную у' = ƒ(x), тогда ее дифференциал

dy = ƒ(x)dx.

Функция F(х) по отношению к ее дифференциалу ƒ(x)dx называется первообразной.

Определение: Первообразной функцией для выражения ƒ(x)dx называется функция F(x), дифференциал которой равен ƒ(x)dx.

Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их, причем они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Докажем это.

Пусть F(x) - первообразная для дифференциала ƒ(x)dx.

Тогда:        

(F(х) + с)' = F(x)’ + с' = ƒ(х) + 0 = ƒ(х), где с = const.

Определение: Совокупность всех первообразных функций F(х) + с для дифференциала ƒ(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f(x)dx.

Таким образом,

∫f(x)dx = F(x) + с,

где ƒ(x)dx называется подынтегральным выражением, а с- произвольной постоянной интегрирования. Например:

∫2хdx = х2 + с,

так как

(х2 + с)' = 2х.

Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием.

Интегрирование — это действие, обратное дифференцированию.

2.2. Свойства неопределенного интеграла

1) d∫f(x)dx = f(x)dx,

т. е. дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

2) ∫dF(x) = F(x) + с,

т. е. неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной.

3) ∫a · f(x)dx = a · ∫f(х)dx,

где a = const, т. e. постоянную величину можно вынести за знак интеграла.

4) ∫[f1(х) + f2(x) – f3(x)] dx = ∫f1(x)dx + ∫f2(x)dx - ∫f3(x)dx,

т. e. интеграл суммы или разности функций равен сумме или разности интегралов.

2.3. Формулы интегрирования

Основные формулы интегрирования получаются обращением формул дифференцирования.

Заметим, что справедливость каждой формулы проверяется дифференцированием. Учащимся предлагается самостоятельно проверить справедливость этих формул.

Первоначальные навыки по интегрированию связаны с так называемым непосредственным интегрированием, охватывающим применение табличных интегралов (основных формул интегрирования), использование свойств неопределенного интеграла и некоторых элементарных преобразований, приводящих подынтегральное выражение к виду какого-либо табличного интеграла.

Примеры:

1. 

Проверка:

d(x5 - x4 + x3 - x + С) = (5x4 - 4x3 + 3x2 — 1)dx.

2.

3. 

4.

Задания для самостоятельной работы

Найдите неопределенный интеграл функций:

2.4. Интегрирование способом подстановки

Рассмотрим один из сильнейших приемов интегрирования функций -  метод замены переменной, или подстановки. В основе его лежит свойство инвариантности формул интегрирования, которое заключается в следующем: если

то

где u (х) — произвольная дифференцируемая функция от х.

Замена переменной производится с помощью подстановок двух видов:

1) х = φ(t), где t — новая переменная, а φ(t) - непрерывно дифференцируемая функция. В этом случае формула замены переменной

(1)

Функцию φ(t)стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть формулы (1) приобрела более удобный для интегрирования вид.

В полученном после интегрирования в правой части выражения надо перейти снова к аргументу х.

2) t = ψ(х), где t — новая переменная. В этом случае формула замены переменной

В полученном после интегрирования в правой части выражения надо перейти снова к аргументу х.

Например, необходимо вычислить следующие интегралы:

1)

Положим 1 + X = Z.

Продифференцируем это равенство:

d(l + х) = dz

dx = dz

Заменим в интеграле:

2.

Положим: а+ bx= z

d(a + bx) = dz

b·dx = dz

dx =

Заменим:

3. 

Замена: 1+x3=z

d(1+x3)=dz

3x2dx=dz

x2dx=

4.

Замена: 1-ex=z

d(1-ex)=dz

exdx=-dz

5. 

Замена:  =z

dx = 3dz

6. 

Замена: cos3x=t

sin3xdx = -

Задания для самостоятельной работы

Найдите неопределенный интеграл функций:

2.5. Интегрирование по частям

Пусть u и v — дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно,

d (uv) = udv + vdu,

откуда следует

udv = d (uv) — vdu.

Интегрирование обеих частей этого равенства дает

∫udv = ∫d(uv) - ∫vdu.

Так как ∫d(uv) = uv в силу обратноcnb операций дифференцирования и интегрирования, то получаем

∫udv = uv - ∫vdu.

Это формула интегрирования по частям, позволяющая переходить от заданного интеграла ∫udv к интегралу ∫vdu;

последний при удачном разбиении подынтегрального выражения на u и dv может оказаться более простым, чем первоначальный.

Эта формула часто применяется, когда подынтегральной функцией является:

• логарифмическая или обратная тригонометрическая функция;
• произведение каждой из этих функций на алгебраическую;
• произведение, содержащее алгебраические, тригонометрические, показательные функции,
• и в некоторых других случаях.

Для интегралов вида ∫In xdx, ∫arctgxdx, ∫arcsinxdx за u принимается подынтегральная функция, a dv = dx. Это дает, например, для первого интеграла следующее:

u = In х; dv = dx;

du= ; v=x.

Поэтому установленная формула позволяет записать

Теперь уже получается результат:

Аналогично отыскиваются второй и третий интегралы.

Найдем ∫arcsinxdx. Полагаем u = arcsin х, a dv = dx, тогда du =  и v = x.

Поэтому

Заметим, что к вновь записанному интегралу применяется подстановка 1 - х2 = z, которая дает  .

Поэтому можно записать

Когда интегрирование по частям применяется к подынтегральной функции, имеющей вид произведения, то выбор множителей и dv должен соответствовать цели перехода к интегралу ∫vdu, более простому, чем заданный интеграл ∫udv, причем множитель dv, всегда включающий dx, должен быть легко интегрируемым.

Это достигается, например, тем, что для интегралов вида

(1-я группа)

за u принимается многочлен Р (х), а для интегралов вида

(2-я группа)

за u принимается In х, arctg x, arcsin х.

Например, найдем ∫(2х-5)e-3xdx.

Принимаем

u = Зх - 5 и dv = е – 3xdx,

тогда

du = 2dx и v =

Отсюда находим

Задания для самостоятельной работы

Найдите интегралы:

1) ∫xarctgxdx, здесь надо взять u = arctg х, dv = xdx

Ответ.

2) , здесь надо взять u = х2 - Зх + 2, dv = cos5xdx

Ответ.         

3) , здесь надо взять u = , dv = dx

Ответ.

4) ∫xlnxdx

Ответ.

5) ∫xe-2xdx

Ответ.  

6) ∫xcos2xdx

Ответ.

7)

Ответ.

2.6. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной функцией называется дробь , числитель и знаменатель которой — многочлены.

Дробь эта называется правильной, если степень числителя ниже степени знаменателя.

Так, дроби

 - правильные

а дроби

неправильные.

Если требуется проинтегрировать неправильную дробь, то предварительно следует перейти к правильной дроби путем выделения целой части.

Так,

а потому

Рассмотрим некоторые случаи интегрирования правильных дробей:

1. Степень знаменателя равна 1.

Интеграл  вычисляется непосредственно как интеграл от степенной функции при n = -1.

Например:

2. Степень знаменателя равна 2, т. е. имеем интеграл

При а ≠ 1 делением числителя и знаменателя дроби на а интеграл приводится к виду

Здесь различаются три случая.

а) ,т. е. корни знаменателя действительные и равные.

Тогда х2 + рх + q = (х – х1)2, и интеграл приводится к виду

        Этот        интеграл        вычисляется        подстановкой х - x1 = t.

б) , т. е. корни трехчлена мнимые.

В этом случае подынтегральная функция разбивается на два слагаемых, причем в правом из них числитель выделяется в виде половины производной знаменателя, а во втором знаменатель приводится к сумме квадратов:

Этим заданный интеграл разбивается на два.

в) ; корни трехчлена действительные различные.

Тогда

и полученная дробь раскладывается на две простейшие:

Числители этих дробей находятся методом неопределенных коэффициентов.

После приведения правой части к общему знаменателю имеем

Сравнение числителей дает

А(х - х2)+В(х - х1) = mx + n.

При х = х1 определяем А и при х = х2 определяем В.

Задания для самостоятельной работы:

1)

Ответ.

2)

Ответ.

3)

Ответ.

4)

Ответ.  

5)

Ответ.

6) 

Ответ.

7)

Ответ.

2.7. Определенный интеграл

Приращение F(b) – F(a) любой из первообразных функций F(x)  + С при изменении аргумента от х = а до х = b называется определенным интегралом, и обозначается:

Таким образом

а — нижний предел интеграла,

b — верхний предел интеграла.

Для вычисления определенного интеграла

нужно найти соответствующий неопределенный интеграл, в полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний, а затем нижний пределы определенного интеграла и из первого результата подстановки вычесть второй.

Примеры:

1.

2.

2.8. Свойства определенного интеграла

1.

где C = const

2.

3.

Пример:

Задания для самостоятельной работы

Найдите определенный интеграл функций:

2.9. Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь фигуры, ограниченной кривой у = ƒ(x), где ƒ(x)> 0, осью ОХ и двумя прямыми х= a и х = b (рис. 63), выражается определенным интегралом:

Рис.1

Пример:

1) Определить площадь S фигуры, заключенной между ветвью кривой у = х2, осью ОХ и прямыми х = 0, х = 3 (рис. 64).

2) Найти площадь S фигуры, заключенной между осью ОХ и кривой у = х2 - 4х (рис. 65).

Рассмотрим точки пересечения кривой у = х2 - 4х с осью ОХ:

у = 0

Рис.2

х2 - 4х = 0; х(х - 4) = 0

х1 = 0; х2 = 4.

Найдем производную:

у' = 2х - 4.

Найдем точки экстремума:

y' = 0;

Рис. 3

2х - 4 = 0

х = 2

у " = 2 > 0

х = 2 – точка min

y(2) = -4.

Искомая площадь ограничена сверху ОХ, снизу у = х2 - 4х, слева х = 0, справа х = 4.

Так как у < 0, то

Найти площадь фигуры, заключенной между y = х3, х = -1, х = 2 и осью ОХ (рис. 66):

Рис.4

у = х3

у = 0→х = 0;

у' = Зх2 

у' = 0 →х = 0

у" = 6х

у"(0) = 0

y"(-1) = - 6

y"(1) = 6

y" меняет знак →(0, 0) — точка перегиба.

Искомая площадь состоит из двух частей;

Путь, пройденный телом

Пусть S - путь, пройденный за время t со скоростью V:

S = V · t,

где V = ƒ(t) при неравномерном движении.

Например:

1) V= (2t2+ t) см/с. Найти путь, пройденный телом за 6 с от начала движения:

2) Скорость движения тела

см/с.

Найти путь за третью секунду:

Задания для самостоятельной работы

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. xy = -6

у - х = 7

Ответ.

2. у = еx 

у = 0

х = -1

x = 1

Ответ.            .

3. у = lnx

у = 0

х = е

Ответ. S =1.

4. Найти путь, пройденный телом за 3 с от начала движения:

V(t) = Зt2 + 2t (см/с)

Ответ. S = 36 см.

3. Задания для контрольной работы

Домашняя контрольная работа

1 вариант

1. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

2. Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на 2 см, если сила в 2Н растягивает её на 4 см.

3. Найдите неопределенные интегралы, используя в решении указанные способы:

- преобразование подынтегрального выражения:

;

;

- замена переменной:

;

;

- интегрирование по частям:

;

;

4. Используя геометрические или аналитические рассуждения, вычислите интегралы:

а) ;

б)

5. Найдите площадь фигур, ограниченных линиями:

а) y=4-x2, y=3x, y= -3x;

б) y=sin x, y=cos x,  0 ≤ x ≤

2 ВАРИАНТ

1. Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

2. Найдите работу, которую необходимо затратить на растяжение пружины на 5 см, если сила в 4Н растягивает её на 10 см.

3. Найдите неопределенные интегралы, используя в решении указанные способы:

- преобразование подынтегрального выражения:

а) ;

б) ;

в) ;

- замена переменной:

а) ;

б) ;

в)

- интегрирование по частям:

а) ;

б) ;

в)

4. Используя геометрические или аналитические рассуждения, вычислите интегралы:

а) ;

б)

5. Найдите площадь фигур, ограниченных линиями:

а) y=2х-x2, y= -x, y= x-2;

б) y=sin x, y= - sin x,  0 ≤ x ≤

4. Список используемой литературы

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2010.
2. Виннкин Н.Я. Математический анализ. – М.: Просвещение, 1973.
3. Дадаян А.А. Москва: учебник. - М.:ФОРУМ. ИНФРА М, 2012.
4. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных заведений. – Ростов н/Д:Феникс, 2010.
5.  Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов, «ИЛЕКСА», Москва, 2012.