Практические работы по математике 10 и 11 классы
рабочая программа на тему
Данный материал используется учащимися во внеурочной работе
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 948 КБ |
![]() | 769.5 КБ |
Предварительный просмотр:
II КУРС
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
«Вычисление производной с помощью определения»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производной функции по определению».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое приращение аргумента и приращение функции?
б) В чем состоит геометрический смысл приращений и
?
в) В чем состоит геометрический смысл отношения ?
г) Сформулируйте определение производной функции в точке.
- С помощью обучающих таблиц повторить планы вычисления приращения функции, производной функции в точке по определению и изучить образцы решенных примеров.
- Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ
1. Приращение аргумента и приращение функции.
На рисунке - приращение аргумента в точке
,
- приращение функции в точке
.
Задание. Вычислите приращение функции в произвольной точке, если:
а) ; б)
.
№ | План вычисления приращения | Применение | плана |
шага | функции | а) | б) |
1 | Фиксируем произвольное значение аргумента |
|
|
2 | Задаем приращение |
|
|
3 | Находим приращение функции: |
Примеры1. Вычислите приращение функции в произвольной точке х0, если:
; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
; 8)
; 9)
.
2. Производная функции.
Определение. Производной функции в заданной точке x называется предел отношения приращения функции
в этой точке к приращению аргумента
, когда
стремится к нулю, т.е.
.
Задание. Вычислите производную функции в точке
, если:
а) ; б)
.
№ | План вычисления производной | Применение | плана |
шага | функции | а) | б) |
1 | Фиксируем точку x и даем аргументу приращение | ||
2 | Вычисляем приращение функции | ||
3 | Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: | ||
4 | Вычисляем производную | ||
5 | Вычисляем |
Примеры2. Вычислите производные следующих функций:
1) в точке
; 2)
в точке
; 3)
в точке
; 4)
в точке
; 5)
в точке
; 6)
в точке
;
7) в точке
; 8)
в точке
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Найдите приращение функции f в точке
, если
.
- Найдите приращения
и
в точке
, если
.
- Найдите производную функции f в точке
по определению, если
при
= 1.
- Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
, в момент времени
, если
.
Вариант 2.
- Найдите приращение функции f в точке
, если
.
- Найдите приращения
и
в точке
, если
.
- Найдите производную функции f в точке
по определению, если
при
= 1.
- Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
, в момент времени
, если
.
Вариант 3.
- Найдите приращение функции f в точке
, если
.
- Найдите приращения
и
в точке
, если
.
- Найдите производную функции f в точке
по определению, если
при
= 1.
- Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
, в момент времени
, если
.
Вариант 4.
- Найдите приращение функции f в точке
, если
.
- Найдите приращения
и
в точке
, если
.
- Найдите производную функции f в точке
по определению, если
при
= 1.
- Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону
, в момент времени
, если
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
«Вычисление производных алгебраических функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных алгебраических функций».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Сформулируйте определение функции.
б) Сформулируйте правила вычисления производных алгебраических функций.
в) В чем состоит механический смысл производной?
г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.
- По образцу выполнить тренировочные задания.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Решите неравенство: , если
.
РЕШЕНИЕ. Пользуясь правилами дифференцирования алгебраических функций и формулами дифференцирования элементарных функций, вычислим производные:
;
.
Таким образом, нужно решить неравенство:
.
:
Разложим числитель дроби на множители .Неравенство
методом интервалов.
Нули числителя: х = 1, х = 5. Нуль знаменателя: .
О т в е т: .
ПРИМЕР 2. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени
.
РЕШЕНИЕ. Скорость движения – это производная от пути по времени, следовательно,
.
Значит, в момент времени скорость данного движения такова:
.
Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: .
Значит, в момент времени ускорение данного движения равно:
.
О т в е т: 46; 24.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
- Решите неравенство
, если
.
- Тело движется по прямой согласно закону
. Найдите скорость и ускорение точки в момент времени
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Решите уравнение
, если
.
а) ; б)
; в)
.
Вариант 2.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Решите неравенство
, если
.
Вариант 3.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Решите уравнение
, если
.
Вариант 4.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Решите уравнение
, если
.
Вариант 5.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Решите уравнение
, если
.
Вариант 6.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Материальная точка движется прямолинейно по закону
. Через сколько секунд после начала движения точка остановится?
Вариант 7.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- Найдите х, при котором
, если
.
Вариант 8.
- Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:
а) ; б)
; в)
.
- По прямой движутся две материальные точки по законам
и
. В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
«Вычисление производных сложных функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных сложных функций».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.
б) Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.
- По образцу выполнить тренировочные задания.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Заданы функции . Задайте формулой сложную функцию h, если: а)
; б)
.
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции таким образом:
.
б) Функцию h можно представить в виде сложной функции таким образом:
.
ПРИМЕР 2. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция : а)
; б)
.
РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где
.
б) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где
.
ПРИМЕР 3. Найдите производные сложных функций: а) ; б)
.
РЕШЕНИЕ. а) Так как , где
, то
и
, откуда
.
б) Так как , где
, то
и
, откуда
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.
- Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция
, если
.
- Найдите производную сложной функции
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
; д)
.
Вариант 2.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
Вариант 3.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
Вариант 4.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
Вариант 5.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
;
г) ; д)
.
Вариант 6.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
Вариант7.
Вычислите производные сложных функций:
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) ;
Вариант 8.
а) ; б)
; в)
; г)
;
д) .
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4
«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Решение прикладных экстремальных задач».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую точку называют критической точкой функции?
б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
г) Опишите схему исследования функции.
- С помощью обучающих таблиц повторить планы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, решения прикладных экстремальных задач и изучить образцы решенных примеров.
- Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ
- Наименьшее и наибольшее значения функции.
Задание. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке
.
№ шага | План нахождения | Применение плана |
1 | Находим производную функции | |
2 | Находим критические точки функции |
|
3 | Выбираем критические точки, лежащие внутри | |
4 | Находим значения функции в критических точках (внутри данного отрезка) и на концах отрезка | |
5 | Из найденных значений функции выбираем наименьшее и наибольшее |
|
Примеры. Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке
, если:
1) ,
; 2)
,
;
3),
; 4)
,
;
5) ,
;
6) ,
; 7)
,
; 8)
,
;
9) ,
.
- Геометрические задачи на нахождение оптимальных значений величин.
Задание. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объём воронки будет наибольшим?
№ шага | План решения | Применение плана |
1 | Строим рабочий чертеж | |
2 | Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой требуется найти | |
3 | Вводим переменную величину х и выражаем через неё значения всех величин исходной формулы | Пусть х – величина центрального угла оставшегося сектора, тогда |
4 | Подставляя найденные значения величин в формулу, представляем её как функцию аргумента х |
|
5 | Задаем (по смыслу задачи) область определения функции |
|
6 | Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном числовом промежутке |
|
7 | Записываем ответ | Величина вырезаемого угла равна |
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Из квадратного листа жести со стороной 12 м надо изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема. Найдите размеры бака и его объем.
Вариант 2.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Какой из прямоугольников с периметром 2p имеет наибольшую площадь?
Вариант 3.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа. Чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
Вариант 4.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м. И площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?
Вариант 5.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Из куска картона 32 см
20 см требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем, загибая выступы для образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.
Вариант 6.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см
. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?
Вариант 7.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк)
160 см. Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна 2 см, а сверху и снизу – 5 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
Вариант 8.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
.
- Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону
, где t – время в секундах, s – путь в метрах. В какой момент времени t скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5
«Свойства функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Свойства функций».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Что называется функцией?
б) Что такое естественная область определения функции?
в) Какая функция называется четной, нечетной?
г) Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 2.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 3.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 4.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 5.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 6.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 7.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
Вариант 8.
- Найдите
, если
.
- Найдите область определения функции
.
- Установите, является ли функция
четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
- Найдите точки пересечения графика функции
с осью ОУ и нули функции.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6
«Исследование функции и построение ее графика»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование функции и построение ее графика».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?
б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
г) Опишите схему исследования функции.
- С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.
- Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА
Задание. Исследуйте и постройте графики функции:
а) ; б)
.
№ | План исследования | Применение | плана |
шага | Функции | а) | б) |
1 | Находим область определения функции |
| |
2 | Исследуем функцию на четность, нечетность |
|
|
3 | Находим нули (корни) функции и промежутки её знакопостоянства |
|
|
4 | Находим производную функции и её критические точки |
|
|
5 | Находим промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции | х=0 – не является точкой экстремума, х=1 – точка минимума, |
х=0 – точка максимума, |
6 | Находим предел функции при | ||
7 | Строим эскиз графика функции |
Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
; 5)
; 6)
; 7)
; 8)
; 9)
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 2.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 3.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 4.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 5.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 6.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 7.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
Вариант 8.
- Исследуйте функцию
на максимум и минимум.
- Исследуйте с помощью производной функцию
и постройте ее график.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7
Повторение к экзамену: «Производная»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Повторить знания уч-ся в теме: «Производная».
- Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по математическому анализу, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Изучить условие заданий для практической работы (тест).
- Оформить отчет о работе (форму отчета выбирает преподаватель).
Тест 1. Определение производной.
1 вариант.
- Приращение функции
в точке
при
равно:
а) –0,19; б) 0,21; в) 0,20; г) –0,09.
- Производная функции
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Производная функции
в точке
равна:
а) 5; б) 4,5; в) 6; г) 3,5.
- Какая из приведенных функций является производной функции
?
а) ; б)
; в)
; г)
.
2 вариант.
1. Приращение функции в точке
при
равно:
а) 0,42; б) –0,38; в) 0,40; г) –0,39.
2. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Какая из приведенных функций является производной функции ?
а) ; б)
; в)
; г)
.
3 вариант.
- Приращение функции
в точке
при
равно:
а) –0,19; б) 0,21; в) 0,19; г) –0,21.
- Производная функции
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Производная функции
в точке
равна:
а) –1,5; б) 1,5; в) –0,75; г) 0,75.
- Какая из приведенных функций является производной функции
?
а) ; б)
; в)
; г)
.
4 вариант.
1. Приращение функции в точке
при
равно:
а) 0,63; б) 0,60; в) –0,59; г) –0,57.
2. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) 1,2; б) 2; в) –1,2; г) 2,5.
4. Какая из приведенных функций является производной функции ?
а) ; б)
; в)
; г)
.
Тест 2. Правила нахождения производной.
Степенная и тригонометрические функции.
1 вариант.
1. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) 1; в) –0,5; г) –1.
4. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) –0,5; в) 1; г) 0.
2 вариант.
1. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) 1; в) –0,5; г) –1.
4. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) –0,5; в) 1; г) 0.
3 вариант.
1. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) 1; в) –0,5; г) –1.
4. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) –0,5; в) 1; г) 0.
4 вариант.
1. Производная функции равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) 1; в) –0,5; г) –1.
4. Производная функции в точке
равна:
а) 0,5; б) –0,5; в) 0; г) 1.
Тест 3. Правила нахождения производной.
Логарифмическая и показательная функции.
1 вариант.
1. Производная функции равна нулю в точках:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б) 3,5; в) –1,5; г) 1.
3. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2 вариант.
1. Производная функции равна нулю в точках:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в) 1,5; г)
.
3. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3 вариант.
1. Производная функции равна нулю в точках:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) –1,25; б) ; в) –0,75; г) 1,5.
3. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4 вариант.
1. Производная функции равна нулю в точках:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2. Производная функции в точке
равна:
а) ; б) 3; в) 1; г) 1,5.
3. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4. Производная функции в точке
равна:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Тест 4. Геометрический смысл производной.
1 вариант.
1. Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами
равен:
а) 1,25; б) 0,25; в) 1,5; г) 0,625.
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) –1; б) ; в) 1; г)
.
3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 8; б) 2; в) –2; г) 0.
4. Уравнением касательной к графику функции в точке с абсциссой
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
2 вариант.
1. Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами
равен:
а) –0,5; б) 0,25; в) –1; г) 0,75.
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 3; б) 4; в) 7; г) .
3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) ; б) 10; в)
; г) 6.
4. Уравнением касательной к графику функции в точке с абсциссой
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
3 вариант.
1. Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами
равен:
а) 1,25; б) 0,25; в) 1,5; г) –0,75.
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 6; б) 4; в) 8; г) –0,75.
3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 0; б) 7; в) –1; г) 1.
4. Уравнением касательной к графику функции в точке с абсциссой
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
4 вариант.
1. Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами
равен:
а) 3; б) 0,25; в) 1,5; г) –2.
2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 4; б) 2,5; в) 1,5; г) 3,5.
3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
равен:
а) 1; б) –1; в) 6; г) 0.
4. Уравнением касательной к графику функции в точке с абсциссой
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
Тест 5. Физический смысл производной.
1 вариант.
- Скорость точки, движущейся по прямой по закону
, равна
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Точка движется по прямой по закону
. Её мгновенная скорость
равна:
а) 8; б) 6; в) 10; г) 9.
- Ускорение точки, движущейся по прямой по закону
равно:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Тело массой m движется по закону
. Сила, действующая на тело в момент времени
, равна:
а) 0; б) ; в)
; г)
.
2 вариант.
- Скорость точки, движущейся по прямой по закону
, равна
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Точка движется по прямой по закону
. Её мгновенная скорость
равна:
а) 11; б) 13; в) 12; г) 10.
- Ускорение точки, движущейся по прямой по закону
равно:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Тело массой m движется по закону
. Сила, действующая на тело в момент времени
, равна:
а) 0; б) ; в)
; г)
.
3 вариант.
- Скорость точки, движущейся по прямой по закону
, равна
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Точка движется по прямой по закону
. Её мгновенная скорость
равна:
а) 6; б) 8; в) 10; г) 9.
- Ускорение точки, движущейся по прямой по закону
равно:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Тело массой m движется по закону
. Сила, действующая на тело в момент времени
, равна:
а) 0; б) ; в)
; г)
.
4 вариант.
- Скорость точки, движущейся по прямой по закону
, равна
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Точка движется по прямой по закону
. Её мгновенная скорость
равна:
а) 18; б) 16; в) 20; г) 14.
- Ускорение точки, движущейся по прямой по закону
равно:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Тело массой m движется по закону
. Сила, действующая на тело в момент времени
, равна:
а) ; б) 0; в)
; г)
.
Тест 6. Исследование функций.
1 вариант.
- Областью определения функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Область значений функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Функция
возрастает на промежутке:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Критическими (стационарными) точками функции
являются:
а) ; б)
; в)
; г)
,
.
2 вариант.
- Областью определения функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Область значений функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Функция
убывает на промежутке:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Критическими (стационарными) точками функции
являются:
а) ; б)
; в)
; г)
,
.
3 вариант.
- Областью определения функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Область значений функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Функция
убывает на промежутке:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Критическими (стационарными) точками функции
являются:
а) ; б)
; в)
; г)
,
.
4 вариант.
- Областью определения функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Область значений функции
является:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Функция
возрастает на промежутке:
а) ; б)
; в)
; г)
.
- Критическими (стационарными) точками функции
являются:
а) ; б)
; в)
; г)
,
.
Тест 7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
1 вариант.
- На отрезке
функция
достигает наибольшего значения в точке с абсциссой:
а) –1; б) –2; в) 3; г) 0.
- Наименьшее значение функции
на интервале
равно:
а) ; б) 2; в)
; г) 2.
- Положительное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наименьшее значение, равно:
а) 1; б) 2; в) ; г)
.
- Стороны прямоугольника наибольшей площади при его периметре 12 м равны:
а) 2 и 4 м; б) 3 и 3 м; в) 1 и 5 м; г) 1,5 и 4,5 м.
2 вариант.
- На отрезке
функция
достигает наименьшего значения в точке с абсциссой:
а) –1; б) 3; в) 4; г) 0.
- Наибольшее значение функции
на интервале
равно:
а) ; б)
; в) –2; г)
.
- Число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение, равно:
а) 1; б) 2; в) ; г) –1.
- Стороны прямоугольника наименьшего периметра при его площади 114 м2 равны:
а) 4 и 36 м; б) 8 и 18 м; в) 12 и 12 м; г) 9 и 16 м.
3 вариант.
- На отрезке
функция
достигает наименьшего значения в точке с абсциссой:
а) –1; б) 0; в) 1; г) –2.
- Наибольшее значение функции
на интервале
равно:
а) ; б) 0; в)
; г) 2.
- Число, квадрат которого превышает его куб на максимальное значение, равно:
а) 1; б) 2; в) ; г) –1.
- Стороны прямоугольника наименьшего периметра при его площади 64 м2 равны:
а) 2 и 32 м; б) 4 и 16 м; в) 6,4 и 10 м; г) 8 и 8 м.
4 вариант.
- На отрезке
функция
достигает наибольшего значения в точке с абсциссой:
а) –3; б) 2; в) 0; г) –2.
- Наименьшее значение функции
на интервале
равно:
а) 0; б) ; в) 1; г)
.
- Отрицательное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наибольшее значение, равно:
а) ; б) –2; в)
; г) –1.
- Стороны прямоугольника наибольшей площади при его периметре 16 м равны:
а) 4 и 4 м; б) 2 и 6 м; в) 3 и 5 м; г) 3,5 и 4,5 м.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8
«Вычисление первообразных функций»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление первообразной функции».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Что называется первообразной функции?
б) Сформулируйте основное свойство первообразной.
в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
- Изучить образцы решенных примеров.
- Выполнить задания для самоконтроля.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Выясните, является ли первообразной для функции
на R?
РЕШЕНИЕ. Находим
.
Следовательно, по определению является первообразной для функции
на R.
ПРИМЕР 2. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
РЕШЕНИЕ. По основному свойству первообразных любая первообразная функции записывается в виде
. Координаты точки
графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению:
.
Отсюда находим, что
,
С = 2.
Следовательно, уравнение искомой первообразной имеет вид: .
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Выберите правильный вариант ответа.
- Функция
является первообразной для функции: а)
; б)
; в)
.
- Дана функция
. Первообразная для функции g(x), график которой проходит через точку
, это:
а) ; б)
; в)
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 2.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 3.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 4.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 5.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 6.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 7.
- Является ли функция
первообразной для функции
на R?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
Вариант 8.
- Является ли функция
первообразной для функции
?
- а) Найдите общий вид первообразных для функции
.
б) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9
«Вычисление определенного интеграла»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного интеграла».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Что называется первообразной функции?
б) Сформулируйте основное свойство первообразной.
в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
г) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
- Изучить образцы решенных примеров.
- Выполнить задания для самоконтроля.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Вычислите интеграл .
РЕШЕНИЕ. Найдем множество всех первообразных для функции :
.
Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, получаем:
.
О т в е т: .
ПРИМЕР 2. Выясните, при каком отрицательном значении переменной а верно равенство
?
РЕШЕНИЕ. Поскольку для одной из первообразных является
,
.
Следовательно, нужно решить уравнение:
,
,
,
.
Отрицательный корень этого уравнения – это число –1.
О т в е т: -1.
ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Выберите правильный вариант ответа.
- Значение
равно:
а); б)
; в)
.
- Равенство
(где a > 0) верно, если а равно:
а) 1; б) 2; в) 3.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Докажите справедливость равенства:
.
Вариант 2.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Докажите справедливость равенства:
.
Вариант 3.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Докажите справедливость равенства:
.
Вариант 4.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Докажите справедливость равенства:
.
Вариант 5.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
- Верно ли неравенство:
?
Вариант 6.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Верно ли неравенство:
?
Вариант 7.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Верно ли неравенство:
?
Вариант 8.
- Вычислите интегралы: а)
; б)
.
- Верно ли неравенство:
?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10
«Применение интеграла для вычисления площадей и объемов»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Приведите примеры криволинейных трапеций.
б) Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
в) Покажите на рисунках и запишите интегральные формулы, с помощью которых можно вычислить площади фигур, не являющихся криволинейными трапециями.
г) Запишите и с помощью иллюстрации прокомментируйте интегральную формулу для вычисления объемов тел.
- С помощью обучающей таблицы повторить план вычисления площади криволинейной трапеции и изучить образцы решенных задач.
- Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке знака функции
, прямыми
и отрезком
. Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле
. (*)
Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) ; б)
.
№ | План вычисления площади | Применение | плана |
шага | криволинейной трапеции | а) | б) |
1 | Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией | ||
2 | Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры | ||
3 | Находим пределы интегрирования |
| |
4 | Вычисляем искомую площадь по формуле (*) |
|
|
Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
; 2)
; 3)
; 4)
;
5) ; 6)
; 7)
; 8)
;
9) .
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа.
Площадь фигуры, изображенной на
рисунке, вычисляется по формуле:
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 2.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа.
Площадь фигуры, изображенной на
рисунке, вычисляется по формуле:
а) ;
б) ;
в) .
Вариант 3.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна:
а) ; б) 4; в)
.
Вариант 4.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна:
а) ; б)
; в)
.
Вариант 5.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна
, если, а равно:
а) ; б) 0,5; в)
.
Вариант 6.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна
, если b равно:
а) ; б) 4; в)
.
Вариант 7.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна:
а) ; б)
; в)
.
Вариант 8.
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
.
- Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями
, равна:
а) ; б)
; в)
.
Предварительный просмотр:
I КУРС
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
Повторение школьной алгебры: «Преобразование выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Повторить знания уч-ся в теме: «Преобразование числовых и буквенных выражений».
- Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
1. С помощью справочных пособий по алгебре повторить:
а) правила действий над обыкновенными дробями;
б) формулы сокращенного умножения;
в) способы разложения выражения на множители;
г) правило сокращения дробей.
2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.
Правила действий над обыкновенными дробями:
;
;
Формулы сокращенного умножения:
;
;
;
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Вычислите значение выражения:
.
- Упростите выражение:
.
Вариант 2.
- Вычислите значение выражения:
.
- Упростите выражение:
.
Вариант 3.
- Вычислите значение выражения:
.
- Упростите выражение:
.
Вариант 4.
- Вычислите значение выражения:
.
- Упростите выражение:
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
«Преобразование выражений, содержащих радикалы»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих радикалы».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение корня n-ой степени. Что такое арифметический корень n-ой степени?
б) Перечислите свойства арифметических корней n-ой степени.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
Вариант 2.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
Вариант 3.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
Вариант 4.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
Вариант 5.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
Вариант 6.
- Найдите значение выражения:
.
- Решите уравнение:
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Какое из чисел больше:
или
?
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
«Решение иррациональных уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение иррациональных уравнений».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Изучить памятку для решения иррациональных уравнений.
- По образцу выполнить тренировочные задания.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ПАМЯТКА
При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:
- подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным и значение корня неотрицательно;
- все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения;
- используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и введение новой переменной;
- при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Решите уравнение .
РЕШЕНИЕ. Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат
Проверка показывает, что х1 = 0 – посторонний корень.
ОТВЕТ: 9.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение .
РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную . Тогда
и уравнение примет вид
или
- не подходит по смыслу.
Далее
.
ОТВЕТ: - 5; 2.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Решите уравнения:
а) ; б)
; в)
.
Вариант 2.
Решите уравнения:
а) ; б)
; в)
.
Вариант 3.
Решите уравнения:
а) ; б)
; в)
.
Вариант 4.
Решите уравнения:
а) ; б)
; в)
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4
«Преобразование выражений, содержащих степени
с дробными показателями»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих степени с дробными показателями».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение степени с натуральным, отрицательным и дробным показателями.
б) Перечислите свойства степеней с рациональным показателем.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА
Вычислите:
8 | ||||||||
7 | ||||||||
6 | ||||||||
5 | ||||||||
4 | ||||||||
3 | ||||||||
2 | ||||||||
1 | ||||||||
a | b | с | d | e | f | g | h |
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 2.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 3.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 4.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 5.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 6.
Вычислите: а) ; б)
; в)
; г)
.
Вариант 7.
Вычислите: а) ; б)
; в)
;
г) .
Вариант 8.
Вычислите: а) ; б)
; в)
;
г) .
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №5
«Преобразование выражений, содержащих степени
и логарифмы»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определение логарифма числа.
б) Запишите основное логарифмическое тождество.
в) Перечислите основные свойства логарифмов.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 2 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 2.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 3.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 3 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 4.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 0,7 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 5.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 5 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 6.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 0,2 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 7.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
.
- Найдите х, если
.
Вариант 8.
- Найдите: а)
; б)
.
- С помощью основного логарифмического тождества вычислите:
.
- Прологарифмируйте по основанию 10 выражение
.
- Найдите х, если
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №6
Повторение школьной алгебры: «Решение рациональных
уравнений и неравенств»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Повторить знания уч-ся в теме: «Решение рациональных уравнений и неравенств».
- Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Выполнить обучающий тест и проверить свои результаты по таблице ответов.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПРИМЕР 1. Решите неравенство .
РЕШЕНИЕ. Это рациональное неравенство решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой «жирными» точками нули числителя (–1; 3 и 7) и «прозрачными» – нули знаменателя (–4 и 2). Если бы заданное неравенство было строгим, нужно было бы все нули сделать «прозрачными». Эти точки разобьют числовую прямую на 6 интервалов:
Выясним знак данной дроби на каждом из этих интервалов, используя пробные числа, принадлежащие интервалам.
Можно поступать иначе. Для этого в выражении в каждом из множителей переменная х должна иметь знак «+» ((х – 2), а не (2 – х); (х – 7), а не (7 – х)). Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на –1 и меняя одновременно его знак столько раз, сколько надо. Отметив нули выражения на числовой оси, справа налево расставим знаки по следующему правилу: сначала «+», меняем знак на нечетной степени и сохраняем его на четной.
Теперь остается выписать ответ – промежутки, на которых поставлен знак «+», так как знак данного неравенства . Важно не забыть х = 3.
ОТВЕТ: .
ПРИМЕР 2. Решите неравенство .
РЕШЕНИЕ. Это квадратное неравенство можно решить методом интервалов, но проще – графически. Рассмотрим функцию, заданную уравнением . Графиком ее является парабола.
Заметим, что для нас совершенно не важны точные характеристики параболы (где находится ось, пересечение с Оу и т. п.) Достаточно знать, что ее ветви направлены вверх (а > 0) и что она пересекает ось Ох в двух точках, являющихся корнями уравнения .
Выполним схематический рисунок:
Из рисунка видно, что квадратичная функция принимает положительные значения вне отрезка, соединяющего ее корни.
ОТВЕТ:
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Решите неравенства:
а) ;
б) ;
в) .
2. Решите систему неравенств:
Вариант 2
- Решите неравенства:
а) ;
б) ;
в) .
- Решите систему неравенств:
Вариант 3
а) б) в)
Вариант 4
а) б) в)
Вариант 5
а) б) в) 2. Решите систему неравенств: |
Вариант 6
а) б) в)
|
ТЕСТ 1. Квадратное уравнение и его корни.
- Какое из уравнений является квадратным:
1) ; 3)
2) 4)
- В квадратном уравнении
укажите его коэффициенты:
1) 3)
2) 4)
- Определите, какое из приведённых уравнений является равносильным уравнению
1) 3)
2) 4)
- Найдите корни уравнения
1) 0, 3; 2) –3, 3; 3) не имеет корней; 4)3.
- Какие из чисел - 4, - 2, - 1, 0, 2 являются корнями квадратного уравнения
1) – 2, 0; 2) 0, 2; 3) – 4, - 1; 4) – 4, 0?
- Решите уравнение
1) – 2, 0; 2) – 2, 2; 3) 2; 4) 0.
ТЕСТ 2. Формула корней квадратного уравнения.
- Вычислите дискриминант квадратного уравнения
:
1) 49; 2) –1; 3) 1; 4) 25.
- Определите, имеет ли квадратное уравнение
корни и если имеет, то сколько:
1) имеет один корень; 2) не имеет корней; 3) имеет два корня.
- Найдите корни уравнения
:
1) –1, –9; 2) –1, 9; 3) –9, 1; 4) 1, 9.
- Решите квадратное уравнение
:
1) ,1; 2) –1,
; 3)
, 1; 4)
, 1.
5.Решите уравнение :
1) –2, ; 2)
,2; 3)
, 2; 4)
, 2.
6.Найдите корни уравнения :
1) 1, 6; 2) –1, 6; 3) –1, -6; 4) –6,1.
ТЕСТ 3. Теорема Виета.
- Найдите сумму корней уравнения
:
1) 18; 2) 11; 3) –18; 4) 1.
- Найдите произведение корней уравнения
:
1) 27; 2) –24; 3) 1; 4) 24.
- Найдите сумму корней уравнения
:
1) 10; 2) –10; 3) –2; 4) 2.
- Найдите произведение корней уравнения
:
1) 3; 2) 9; 3) –9; 4) 16.
- В уравнении
один из корней равен 8. Найдите второй корень и коэффициент
:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.
- Один из корней уравнения
равен –2. Найдите второй корень и коэффициент
:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
.
- Найдите подбором корни уравнения
:
1) 4, 14; 2) –7, 8; 3) 5,10; 4) 7,8.
ТЕСТ 4. Дробно-рациональные уравнения.
- Какое из уравнений является дробно-рациональным:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
?
- Решите уравнение
:
1) 2; 2) –1; 3) 1; 4) 3.
3. Решите уравнение :
1) –2; 2) 5; 3) 2; 4) –1.
- Найдите корни уравнения
:
1) 1,5; 2) –2, 3; 3) –3, 2; 4) 2, 3.
- Определите, при каком значении
значение функции
равно 2:
1) 4; 2) 3; 3) 8; 4) 9.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 2.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 3.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 4.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 5.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 6.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 7.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
Вариант 8.
- Решите уравнение:
.
- Решите неравенства:
а) ; б)
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7
«Решение показательных уравнений и неравенств»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение показательных уравнений и неравенств».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Под руководством преподавателя пройти все уровни тренировочного раздела.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
«начальный» уровень:
1 уровень:
2 уровень:
экзаменационный материал:
а) б)
; в)
;
г) ; д)
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Постройте в одной координатной плоскости графики функций
.
- Решите уравнение: а)
; б)
; в)
.
- Решите неравенство: а)
; б)
.
Вариант 2.
- Постройте в одной координатной плоскости графики функций
.
- Решите уравнение: а)
; б)
; в)
.
- Решите неравенство: а)
; б)
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8
«Решение логарифмических уравнений и неравенств»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Изучить памятку для решения логарифмических уравнений и неравенств.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
Памятка для решений логарифмических уравнений
, причем
1. Уравнение вида
Решить равносильное уравнение ;
2. Уравнение вида
а) найти ОДЗ: ;
б) решить уравнение ;
в) выбрать из корней уравнения .
- Уравнение вида
Решить уравнение относительно переменной, входящей
в выражение с переменной.
При решении логарифмических уравнений полезно помнить
некоторые свойства логарифмов:
- основное логарифмическое тождество
;
;
;
;
;
;
;
;
- формула перехода к новому основанию
Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)
натуральный логарифм (по основанию
)
При решении логарифмических уравнений применяются также методы логарифмирования и потенцирования.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Решите уравнения: а)
; б)
;
в) .
- Решите неравенство:
.
Вариант 2.
- Решите уравнения: а)
; б)
;
в) .
- Решите неравенство:
.
Вариант 3.
- Решите уравнения: а)
; б)
;
в) . б)
;
Вариант 4.
- Решите уравнения: а)
; б)
;
в) .
- Решите неравенство:
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9
«Тригонометрические функции углов поворота»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Тригонометрические функции углов поворота».
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
- Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Что такое угол в 1 радиан?
б) Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла .
в) Как зависят знаки от того, в какой
координатной четверти расположена точка ? Назовите эти
знаки.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
Опорный чертеж
На рисунке совмещены декартова система координат и окружность единичного радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой (начало отсчета – точка пересечения окружности с положительной частью оси Ох, положительное направление – против часовой стрелки, единичный отрезок выражен через число ). На окружности отмечены точки, полученные при повороте радиуса окружности, совпадающего с
положительной частью оси Ox, на различные углы . Абсциссы этих точек
, ординаты
. Дополнительно проведены две касательные к окружности (линии тангенса и котангенса).
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере:
; б) в градусной мере:
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите: а)
; б)
.
Вариант 2.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере:
; б) в градусной мере:
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите: а)
; б)
.
Вариант 3.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере:
; б) в градусной мере:
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
;
4.Вычислите: а); б)
.
Вариант 4.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите: а)
;
б) .
Вариант 5.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите: а)
; б)
.
Вариант 6.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите:а)
; б)
.
Вариант 7.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- а) Проверьте справедливость равенства:
;
б) Упростите: .
Вариант 8.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- Вычислите: а)
; б)
.
Вариант 9.
- Выразите величину угла: а) в радианной мере
; б) в градусной мере
.
- Отметьте на единичной окружности точку
. Покажите на чертеже значения
и
, если
равно
.
- Определите знак:
и
.
- а) Найдите значение выражения
, если
.
б) Упростите: .
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №10
«Преобразование тригонометрических выражений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Корректировать умение применять тригонометрические формулы при преобразовании тригонометрических выражений.
- Закрепить и систематизировать знания по теме.
ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов; таблицы формул тригонометрии; микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Под руководством преподавателя выполнить упражнения тренировочного раздела.
- Изучить условие заданий для практической работы.
- Оформить отчет о работе.
ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ
Тема: «Основные тригонометрические формулы»
- Основное тригонометрическое тождество
выполняется при любых значениях
.
- Упростите выражения: а)
; б)
.
- Следствием из основного тригонометрического тождества является формула, выражающая
через
:
.
- Найдите значение тригонометрической функции
, если известно, что
.
- Тангенсом угла
называется отношение ... угла
к его ...:
.
- Из определения тангенса и котангенса следует:
.
- Соотношение между тангенсом и косинусом одного и того же угла
, когда
.
- Формула
не имеет смысла при
.
- Преобразуйте выражения: а)
; б)
; в)
.
- Упростите: а)
; б)
.
- Докажите тождество:
.
Тема: «Формулы приведения»
- Знаки тригонометрических функций:
y y
II+ + I II - + I
x x
_ 0 _ + 0 -
III IV III IV
знаки синуса знаки тангенса
- Четность и нечетность тригонометрических функций:
.
Вывод: четной функцией является ....
- Найдите значения выражений: а)
; б)
; в)
.
- Тригонометрические функции углов вида
могут быть выражены через функции угла
с помощью формул приведения:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
Тема: «Формулы сложения»
- Для любых
справедливы равенства: а)
;
б) ; в)
.
- Вычислите: а)
; б)
.
- Упростите: а)
; б)
; в)
; г)
.
Тема: «Формулы двойного угла»
.
.
- Упростите: а)
; б)
.
- Вычислите: а)
; б)
; в)
.
Тема: «Формулы суммы и разности тригонометрических функций»
- Формула суммы синусов двух углов:
.
- Формула разности косинусов двух углов:
.
- Формула суммы тангенсов двух углов:
.
- Преобразуйте в произведения: а)
; б)
; в)
; г)
.
- Упростите: а)
; б)
; в)
.
- Докажите тождества: а)
; б)
.
- Докажите, что
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
1. Дано: Найдите:
а) ; б)
; в)
.
2. При всех допустимых значениях докажите тождество
.
Вариант 2
- Упростите выражение
.
- Докажите тождества:
а) ; б)
.
Вариант 3
- Дано:
. Найдите:
а) ; б)
; в)
.
- При всех допустимых значениях
докажите тождество
.
Вариант 4
- Упростите выражение
.
- Докажите тождества:
а) ; б)
.
Вариант 5
- Вычислите
, если
.
- При всех допустимых значениях
упростите выражение:
а) ; б)
.
Вариант 6
- Найдите
, если
.
- Упростите выражение при всех допустимых значениях
:
а) ; б)
.
Вариант 7
1. Вычислите , если
.
2. При всех допустимых значениях упростите выражение:
а) ; б)
.
Вариант 8
- Найдите
, если
.
- Упростите выражение при всех допустимых значениях
:
а) ; б)
.
Вариант 9
- Вычислите
и
, если
.
- При всех допустимых значениях
упростите выражение:
а) ; б)
.
Вариант 10
1. Найдите , если
.
2. Докажите тождества:
а) ; б)
.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №11
«Решение тригонометрических уравнений»
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- Закрепить навыки определения типов тригонометрических уравнений (простейшее, квадратное относительно
, однородное относительно
и
, уравнение, решаемое разложением на множители левой части).
- Усвоить алгоритмы решения основных типов тригонометрических уравнений.
ОБОРУДОВАНИЕ: карты индивидуальных заданий, таблицы значений тригонометрических функций некоторых углов, таблицы частных случаев решения простейших тригонометрических уравнений, таблицы формул тригонометрии, микрокалькуляторы.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:
- Ответить на контрольные вопросы:
а) Дайте определения арксинуса, арккосинуса арктангенса и арккотангенса числа а.
б) Перечислите свойства обратных тригонометрических функций.
в) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.
г) Какой вид имеет квадратное относительно тригонометрическое уравнение? Объясните алгоритм его решения.
д) Какой вид имеет однородное относительно и
тригонометрическое уравнение? Какова методика его решения?
е) Вспомните формулы, с помощью которых решают простейшие тригонометрические уравнения.
- По образцу выполнить тренировочные задания.
- Изучить условие задания для самостоятельной работы.
- Оформить отчет о работе.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:
ПРИМЕР 1. Вычислите: .
РЕШЕНИЕ.
=
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Вычислите: а) ; б)
;в
; г)
.
ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
По формуле частного случая: .
ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
Разделим левую и правую части уравнения на 2: .
По формуле получаем:
.
Разделим левую и правую части уравнения на 3: .
ПРИМЕР 4. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
Выразим :
.
По формуле получаем:
.
Разделим левую и правую части уравнения на :
.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а) ; б)
; в)
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
Вариант 1
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 2
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 3
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 4
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 5
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 6
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 7
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 8
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 9
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
Вариант 10
- Вычислите:
.
- Решите уравнения: а)
; б)
; в)
.
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ:
ПРИМЕР 1. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ. Применив основное тригонометрическое тождество: , получим:
,
,
.
Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим
, тогда
. Полученное уравнение имеет решения
.
Составим два простейших уравнения:
и
.
Первое уравнение решений не имеет, так как . Второе уравнение имеет решение:
,
.
Ответ:
ПРИМЕР 2. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
Так как по формуле приведения , а
по формуле двойного угла, то
.
При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на и получим:
,
откуда
.
Это уравнение является однородным относительно и
. Разделив обе части полученного уравнения на
, получим
.
Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим
, тогда
. Полученное квадратное уравнение имеет корни
. Из уравнения
получаем
,
.
Из уравнения получаем
.
Ответ:
ПРИМЕР 3. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
Запишем данное уравнение иначе:
.
По формуле разности косинусов получаем:
.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если , то
; если
, то
.
Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.
Ответ: .
ПРИМЕР 4. Решите уравнение: .
РЕШЕНИЕ.
В правой части применим формулу приведения
,
,
.
Применим формулу разности синусов , тогда
.
Вынесем за скобки общий множитель:
.
Если , то
; если
, то
, значит,
.
Ответ: .
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.
Решите уравнения: а) ; б)
; в)
.
ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
Вариант 1
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 2
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 3
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 4
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 5
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 6
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 7
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 8
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 9
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
Вариант 10
Выясните, к какому типу относятся данные тригонометрические уравнения, и решите их:
;
;
;
.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/09/02/picture-288878-1378135841.jpg)
Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся в СПО
Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике предназначены для обучающихся, которые уже освоили общеобразовательную дисциплину математика и перешли к изучению высшей матема...
![](/sites/default/files/pictures/2014/12/29/picture-357543-1419852624.jpg)
Полугодовая контрольная работа по математике 10 класс в форме ЕГЭ
Контрольная работа составлена по учебникам А.Г.Мордкович и Л.С.Атанасян.Состоит из 17 вариантов,что позволяет провести максимально правильный контроль знаний учащихся.Ключи прилагаются....
![](/sites/default/files/pictures/2015/10/07/picture-682240-1444245881.jpg)
Практическая работа по математике для студентов 2 курса по теме иннтеграл
Данная разработка включает в себя следующие разделы: цели работы,перечень справочной литературыпорядок проведения и оформления работыкраткий теоретический материалзадания для самостоятельной рабо...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/27/picture-152309-1361987505.jpg)
Контрольные работы по математике 2 класс (Школа России)
Контроль уровня достижения планируемых результатов освоения учебного предмета...
![](/sites/default/files/pictures/2018/02/28/picture-494921-1519825560.jpg)
Комплект практических работ по математике для студентов СПО
Практические работы для студентов СПО по специальности Поварское и кондитерское дело...
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/15/picture-194091-1360956966.jpg)
Контрольная работа по математике, 4 класс
Контрольная работа по математике, 4 класс, "Перспектива", конец учебного года....