Презентация "Матрицы"
презентация к уроку
- Данная презентация может быть использована преподавателями и студентами для самостоятельного изучения материала по дисциплине “Математика”. В презентация представлен теоретический материал, примеры решения задач и задания для самостоятельного решения.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 matritsy.pptx | 1.84 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Матрицы в математике - один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Часто экскурс в теорию матриц начинают со слов: "Матрица - это прямоугольная таблица ...". Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте - ни что иное, как матрицы. Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день. Эти матрицы бывают с различным числом строк. Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и n столбцах, называется mn -матрицей (или просто матрицей ) и записывается так : (1). В матрице (1) числа называются её элементами (как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, n ). Матрица называется прямоугольной , если Если же то матрица называется квадратной , а число n – её порядком .
Определителем квадратной матрицы A называется определитель, элементами которого являются элементы матрицы A . Он обозначается символом | A |. 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы : Это свойство вытекает из определения детерминанта и выражает равноправие строк и столбцов определителя . 2. Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число . Такое свойство определителей позволяет, в частности, выносить общий множитель элементов строки или столбца за знак определителя . 3. Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный. 4. Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю. 5. Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю. 6. Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю. 7. Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 8. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число. 9. Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю. Матрицы называются равными , если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают. Матрица называется нулевой , если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0 или Например , . Матрицей-строкой (или строчной ) называется 1 n -матрица, а матрицей-столбцом (или столбцовой ) – m 1-матрица. Матрица A ', которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированной относительно матрицы A . Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица . Операция перехода к матрице A ', транспонированной относительно матрицы A , называется транспонированием матрицы A . Для mn -матрицы транспонированной является nm -матрица. Пример 1. Найти матрицу A ', транспонированную относительно матрицы
Главной диагональю квадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными . Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной . Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю. Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, а все прочие равны нулю, называется скалярной матрицей . Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица . Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице . Пример 2. Даны матрицы : . Установить , какие из них являются неособенными (невырожденными, не сингулярными).
Суммой (разностью) двух mn -матриц A и B называется матрица С , элементы которой равны суммам ( разностям ) соответствующих элементов матриц A и B , т.е . для суммы матриц и для разности матриц ( ), где - элементы матрицы А, - элементы матрицы В. Из данного определения понятно, что разность матриц - результат, обратный сумме матриц. Складывать и вычитать можно матрицы только одинакового размера. Пример 3. Найти сумму и разность матриц и B . В соответствии с определением находим : и . Свойства сложения матриц 1. A + B = B + A (коммутативность). 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (ассоциативность).
Для того, чтобы произвести умножение матрицы A на произвольное число α, нужно элементы матрицы A умножить на число α, т.е. произведение матрицы на число будет следующим : . Пример 4 . Найти матрицу 3 A для матрицы . Решение. В соответствии с определением умножим элементы матрицы A на 3 и получим . В сочетании со сложением и вычитанием матриц операция умножения матрицы на число может образовывать различные матричные выражения, например, 5 A − 3 B , 4 A + 2 B . Пример 5. Даны матрицы . Вычислить 4 A +2B.
Свойства умножения матрицы на число 1. 2. 3. 4. Свойства (1) и (2) связывают умножение матрицы на число со сложением матриц. Существует также очень важная связь между умножением матрицы на число и перемножением самих матриц : 5. т. е. если в произведении матриц один из множителей умножается на число, то и всё произведение будет умножаться на число . Пример 6 . Выполнить операцию умножения матрицы A на число α, если Решение. Вспоминаем, что при умножении числа в степени на число в степени показатели степеней складываются. Получаем . Этот пример, кроме всего прочего, наглядно демонстрирует, что действия умножения матрицы на число могут быть прочитаны (и записаны) в обратном порядке и называется это вынесением постоянного множителя перед матрицей.
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С , элемент которой, находящийся на пересечении i -й строки и j - го столбца, равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j - го столбца матрицы В . Из этого определения следует формула элемента матрицы C : . Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ . Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В . В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В . Свойства произведения двух матриц Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А . Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел. Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей . Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю. Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно : Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц. Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно : ( АВ ) С = А ( ВС ) . Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон : ( А + В ) С = АС + ВС , С ( А + В ) = СА + СВ . Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то
Пример 6 . Найти произведение двух матриц А и B , если и . Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис. 2: 1
Миноры. Алгебраические дополнения. Ранг матрицы. Матрица обратная данной. Минор Пусть задана квадратная матрица (т.е. квадратная матрица n- го порядка ). Минором матрицы именуют определитель матрицы, полученной из матрицы А вычёркиванием i-й строки и j- го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент ) . Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка : . Найдём минор элемента т.е . найдём . Сперва запишем минор Для того, чтобы составить , вычеркнем из матрицы A третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент Итак, минор элемента равен 579, т.е. =579.
Алгебраическое дополнение Пусть задана квадратная матрица (т.е. квадратная матрица n- го порядка). Алгебраическое дополнение матриц ы находится по следующей формуле : . Найдем алгебраическое дополнение элемента матрицы , т.е. . Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают .
Рангом матрицы A называется ранг её системы строк или столбцов. Обозначается rang A . На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду. Нахождение обратной матрицы. Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е . ,
Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами: - методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения и транспонировать матрицы; - методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д .). Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной ) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует . Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей .
Нахождение обратной матрицы методом алгебраических дополнений (союзной матрицы) Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица (2) , где – определитель матрицы А, а - матрица, союзная с матрицей А. Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений 1. Найти определитель данной матрицы A . Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует. 2. Найти матрицу, транспонированную относительно A . 3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы , найденной на шаге 2. 4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A , на союзную матрицу, найденную на шаге 4. 5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.
Пример 7. Для матрицы найти обратную матрицу. Решение . Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников : Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная ) и для неё существует обратная. Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А . Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A : транспонированную относительно матрицы A : .
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом. Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных . Другое условие применимости матричного метода - невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы . Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы . Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом Пусть нужно решить систему линейных уравнений :
Запишем эту систему уравнений в матричном виде: Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов A= , X= , B= . Тогда ( т.к. ) То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц . Пример 8 . Решить матричным методом систему линейных уравнений : . Ответ: Пример 9 . Решить матричным методом систему линейных уравнений : Ответ:
Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ ) методом Гаусса. Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход ). В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x . После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований . При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно : - переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи); - если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной; - удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю; - любую строку умножать или делить на некоторое число; - к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число. В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной . Рассмотрим решение систем линейных уравнений , в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 10. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы : . В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных , а справа после вертикальной черты - свободные члены . Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения : . С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений .
Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на -3, к третьей строке – первую строку, умноженную на -2. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменную x : . Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе : Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на -4. В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений: .
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений: Решение найдём "с конца" - обратный ход. Для этого из последнего уравнения определим z : z=1. Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y : y=2. Из первого уравнения найдём x : x=-1. Ответ: решение данной системы уравнений (x=-1; y=2; z=1).