Группа А 21, 6.05.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Пример 1

Для стальной балки построить эпюры Q и М, из расчета на прочность подобрать номер двутаврового сечения, если заданы:

[] = 140 МПа, а = 2,0 м; b = 1,0 м, F = 14 kH, q = 2,8 kH/м, М = 1кНм (рис.27).

Решение:

1. Определяем опорные реакции, произвольно их направляя:

l)= 0; XА = 0  

2) =0; YА - qa – F + Yв = 0

3)  F.

Из (3) уравнения:

Из (2) уравнения: YA=

Проверка:

∑mB =

0=0 (верно)

Значит, опорные реакции определили и выбрали их направление верно.

2. Разбиваем балку на участки, произвольно проводим сечения, задаем их координаты.

3. Составляем уравнения для определения поперечных сил и изгибающих моментов, задавшись положительным направлением:

 I участок:x1a

Q1 = - F - qa,

при x1 = 0; Q1  = - F = - 14 kH

при x1= a; Q1 = - F - q· a = - 14 - 2,8·2 = - 19,6 kH

M1 = - F·x1 – q x1,

при x1 = 0; M1 = 0

при x1 = a; M1 = - F·a – q·a·= - 14·2 - 2,8·2·= - 33,6 kHм

при x1 =;  M I  = - F·  · · = - 14 ·1 – 2,8·1·0,5 = - 15,4 kHм

II участок: 0≤ x2≤b

QII = - YB = 34, 6 кН

MII = YB·+ M,

при x2 = 0; M II  = M = 1 kHм,

при x2 = b; M II  = YB·b + M = - 34,6 ·1+1 = - 33,6 kHм

Рис. 28.

Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.28).

4. Анализ эпюры изгибающихся моментов показывает, что опасное сечение балки, где действует максимальный по абсолютной величине изгибающий момент, находится на границе между участками балки:

 Mmax = 33, 6 kHм.

Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления, который определяется из условия прочности:

W ≥== 0, 24 10-3 = 240 см3

По таблице (Приложения) выбираем двутавр № 22а, WH   которого равен 254 см3. Максимальное напряжение в балке выбранного профиля:

σmax  =  = 132·106 Па = 132 МПа

Недогрузка составит:

∆ =  · 100% =   100% = 5,7% 15%, что не превышает допускаемого значения.

Пример 2

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Из расчета на прочность, подобрать номер двутаврового сечения для стальной балки, если заданы: М = 10 кНм; F = 20 кН, q = 5 kH/m, a = 2 м, в = 3 м;

[] = 200 МПа.

Решение:

1. Определяем опорные реакции, произвольно их направляя:

∑у = 0; УА + F - qa = 0

УА = - F + qa= - 20 + 52 = - 10 kH.

∑mA = 0; МА + Fa + M - qa (a + b +) = 0

МА = - Fa – M + qa (a + b + )  = - 202 - 10 + 52(2 + 3 + ) = 10 kHм.

2. Разбиваем балку на участки, получая три участка, проводим произвольно сечения на участке, задаем координаты сечения.
3. Определяем по участкам поперечные силы и изгибающие моменты, строим их эпюры:

1 участок: 0

Q1 = УA = - 10 kH.

M1= УA, график функции - прямая линия, для построения которой достаточно двух точек, поэтому

при x1= 0; M1 = УA0 - МА= - 10 кНм, при x1= в; M1 = УAb – MA = - 103 – 10 = - 40 kHм.

1. участок: 0

Q2  = УА + F = -10 + 20 = 10 kH

M2 = УА(в + х2) – МА+ Fx2

График функции - прямая линия, для построения которой достаточно двух точек, следовательно

при x1 = 0; M2  =  УAв - МА = - 103 – 10 = - 40 кНм, при x2 = a; M2 = УA(в + а) - МА + Fa = - 10(3+2) – 10 + 202 = - 20 kHм.

3 участок: 0

Рассматриваем участок со стороны свободного конца балки, показываем внутренние силовые факторы.

Q3 = qx3,

 график функции - прямая линия. Для ее постоения достаточно двух точек:

при  = 0; Q3 = q0 = 0;          

при x3 = а; Q3 = qа = 52 = 10 кН.

График функции – квадратичная парабола, для построения которой достаточно трех точек, следовательно,

 при x3 = 0; М3  = 0; при  x3 = а

 = - 10 kH, при x3 == 1 м,

По полученым значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.29).

4. Анализ эпюры изгибающих моментов показывает, что наиболее опасное сечение находится на границе между первым и вторым участками, где

Номер двутавра определяем по расчетному значению момента сопротивления из расчета на прочность:

По таблице Приложения выбираем двутавр № 20а, Wz которого равен 203,0 см3. Максимальное напряжение в опасном сечении балки выбранного профиля:

.

Недогрузка составит:

100% = 100% = 1,5% < 15%, что соответствует допустимым нормам.

Рис. 29.