Группа Вс 21, 20.04.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Прямой поперечный изгиб. Определение напряжений

1. Понятие изгиба.
2. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами.
3. Определение нормальных напряжений.
4. Определение касательных напряжений.

1. Понятие изгиба

Изгибом называют такой вид деформации стержня, который вызван системой сил, перпендикулярных оси стержня, и пар сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня. Главная плоскость – плоскость, проходящая через ось стержня и одну из главных центральных осей инерции сечения стержня.

Изгибом называется такой вид деформации, при котором под действием внешних сил в поперечных сечениях стержня возникают поперечные силы и изгибающие моменты.

Если в поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты – это случай чистого изгиба.

Если в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и поперечные силы – это поперечный изгиб.

Стержень, работающий на изгиб, называют балкой.

Основные типы балок

шарнирно-неподвижная опора                              шарнирно-подвижная опора

защемленная опора или жесткая заделка

Для определения опорных реакций необходимо составить уравнения равновесия. После чего определяют внутренние силы методом сечений. График, показывающий распределение внутренних сил по длине балки, называется эпюрой. Для построения эпюры надо знать правило знаков.

Рис. 32. Правило знаков

Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна).

Поперечная сила считается положительной, если она стремиться повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент () в поперечном сечении балки определяется как сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Поперечная сила () в поперечном сечении балки определяется как сумма проекций на плоскость сечения всех сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Построение эпюр

Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным при наличии эпюр – графического изображения изменения внутренних сил по длине балки.

          1) Определяем опорные реакции.

2) Проводим произвольное сечение на предварительно разбитых участках балки и составляем общие выражения для поперечной силы и момента изгибающего.

Пример. Для заданной схемы балки требуется построить эпюры  и .

1. Определим реакции.

,  ,  

.

,  ,

.

Проверка: , ,

Рис. 33.

, , .

2. Проведем сечение  на расстоянии  и рассмотрим левую отсеченную часть. Составим уравнения равновесия.

,    .

Сила  не зависит от , т.е. остается постоянной; график – прямая, параллельная оси абсцисс. Момент  – зависит от , график – прямая. Данное выражение справедливо при .

При , ;

при ,

3. Проведем сечение  на расстоянии  и рассмотрим правую отсеченную часть

(  ).

,    .

При , ;

при , .

По найденным значениям строим эпюры.

2. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами

Вырежем из балки элемент длиной . Изгибающий момент , поперечная сила  и интенсивность внешней нагрузки  связаны между собой определенной зависимостью.

Рис. 34.

Составим уравнения равновесия:

,  ;

,  .

После преобразований (величиной  можно пренебречь) находим

,   .

Первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки.  Первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе (теорема Журавского).

Из полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:

.

Вторая производная от изгибающего момента равна интенсивности распределенной нагрузки.

Эти зависимости позволяют установить правила, которые определяют характер эпюр Q и М, применяемые для контроля правильности их построения:

l. Ecли на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q=0, то эпюра Q на этом участке представляет собой прямую, параллельную так называемой нулевой оси, а эпюра М – наклонную прямую.

2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой, то есть q= const эпюра Q - наклонная прямая, а эпюра М - квадратичная парабола, выпуклостью направленная навстречу q.

3. Если на участке Q > 0, то М возрастает, если Q < 0, то М убывает, если Q = 0, то M = const.

4. Если перерезывающая сила Q пересекает так называемую нулевую ось, то в сечении, где поперечная сила равна нулю - изгибающий момент имеет экстримальное значение.

5. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q имеет скачок на величину значения сосредоточенной силы, а на эпюре М скачкообразно изменяется угол наклона эпюры.

6. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре М -скачок на значение сосредоточенного момента.

7. Если в шарнирной опоре не приложен сосредоточенный момент, то М в опоре равен нулю.

3. Определение нормальных напряжений

При чистом изгибе , . Разрежем балку сечением 1-1 и рассмотрим равновесие левой части. Выберем элементарную площадку  и определим действующую на неё силу:

.

Рис. 35. К определению нормальных напряжений

Левая часть балки будет находиться в равновесии под действием момента  и нормальных усилий .

, ;                                                 (1)

, .

Запишем уравнения моментов относительно осей , , . Затем, что внешний момент  лежит в плоскости  и моментов относительно осей  и  не дает.

;

,   ,                                             (2)

,   ,                              (3)

Но полученных трех уравнений не достаточно для определения величины нормальных напряжений. Рассмотрим деформацию балки с двумя бесконечно близкими сечениями. Выделим из неё элемент длиной . Оба поперечных сечения, оставаясь плоскими, повернутся вокруг нейтральных осей и образуют угол . Линия – нейтральный слой. Все волокна, лежащие выше нейтрального слоя укорачиваются, а ниже – удлиняются; – радиус кривизны нейтрального слоя.

Найдем удлинение какого-либо волокна , расположенного на расстоянии  от нейтрального слоя. Первоначальная длина этого волокна:

.

После деформации длина дуги :

.

Абсолютное удлинение:

.

Относительное удлинение:

,

Рис. 36. К определению деформаций

т.е. удлинения волокон пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя.

Для вычисления напряжений воспользуемся законом Гука при растяжении:

,      .

Закон Гука при чистом изгибе: величина нормальных напряжений изменяется прямо пропорционально расстоянию  рассматриваемой точки от нейтрального слоя.

Определим  в зависимости от изгибающего момента. Подставим в уравнение (1) значение

 или  

Так как , то  –  статический момент площади поперечного сечения. Нейтральный слой при чистом изгибе проходит через центр тяжести.

Подставим в уравнение (2) значение

 или  .

Отсюда следует, что  – центробежный момент инерции площади сечения относительно осей  и .

Подставим в уравнение (3) значение

 или .

 – осевой момент инерции. Характеризует способность стержня сопротивляться искривлению в зависимости от размеров и формы его поперечного сечения.

Тогда         или     ,

где – жесткость сечения при изгибе.

Окончательно, подставляя в закон Гука, получим

.

Нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной оси и обратно пропорциональны моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Видоизменим формулу: .

С искривлением оси балки связан взаимный поворот сечений; длина . Отсюда угол поворота:

,   после подстановки    ,

т.е. перемещения и деформации при изгибе (поворот сечений  и кривизна оси балки ) прямо пропорциональны величине изгибающего момента и обратно пропорциональны жесткости балки.

Наибольшее напряжение: ,

где  – осевой момент сопротивления;

 – расстояние от нейтральной линии до наиболее отдаленных от нее точек.

Условие прочности при изгибе:

.

Проектный вариант:  .

Выводы:

1. Центр тяжести сечения стержня является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил.
2. Напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции и координаты точки.
3. Напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой.
4. Нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала стержня.
5. Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

4. Определение касательных напряжений

При поперечном изгибе наряду с нормальными напряжениями появляются и касательные.

Рис. 37. К определению касательных напряжений

Вырежем из балки прямоугольное сечение  размерами . Пусть изгибающий момент в сечении  равен , в сечении  равен . По боковым граням будут действовать нормальные напряжения  и ; по горизонтальному сечению – касательные напряжения . Кроме того, по горизонтальному сечению возникают усилия сдвига  (усилие, приходящееся на единицу длины, ).

Вычислим все силы, действующие на элемент .

Усилие сдвига определится:                 .

Нормальные напряжения, действующие на бесконечно малой площадке  на уровне  от нейтральной оси, равны:

.

Усилие :                       .

На всю грань  действует сила  :

.

 – статический момент отсеченной части относительно нейтральной оси .

Тогда    , аналогично   .

Составим условие равновесия:  ,  .

Подставляя значения, получим:

.

Отсюда найдем: , но  .

Окончательно получим формулу для касательных напряжений при изгибе (формула Журавского)

.

Усилие сдвига  (погонная сдвигающая сила) определится равенством

.