Группа А 21, 22.04.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Пример

Для вала построить эпюру крутящих моментов Т, максимальных касательных напряжений  и углов закручивания . Из условия прочности определить диаметр вала сплошного круглого сечения, если заданы:

а = 2,4м; b = 1,4м; М1 = 5 кНм; М2 = 22 кНм; М3 = 10 кНм; [] = 80 МПа; G = 0,4 Е.

Решение:

1. Определить опорный момент в жесткой заделке, составляя уравнение равновесия моментов относительно оси х:

Mx = 0; - M1- M2+Мз - МА = 0;

МА =- М1 - М2+ М3 = - 5 – 22 + 10 = - 17 кНм

2. Разбиваем вал на III участка.

3. Определяем по участкам крутящие моменты и строим эпюру крутящих моментов.

I участок: Т1 + М1 = 0; Т1 = - М1 = - 5 кНм

 II участок: ; Т2= - М1 - М2 = - 5 – 22 = - 27 кНм

Ш участок: = 0; T3 = - M1- M2 + М3 = - 5 – 22 + 10 = - 17кНм.

Строим эпюру Т на каждом участке. Так как крутящий момент на участках постоянный, то графики - прямые, параллельные оси х.

Скачки на эпюре должны быть в сечениях, где приложены сосредоточенные внешние моменты и величина скачка соответствует значению этих моментов.

4. Определяем максимальные касательные напряжения в общем виде и строим эпюру:

I участок  =

= 0,2d3 =

II участок: = -

III участок: = -

По полученным значениям строим эпюру, так как  const, тогда графики - прямые, параллельные оси х.

5. Анализ эпюры касательных напряжений показывает, что наиболее нагруженным, то есть опасным является  II участок, на котором действуют максимальные по абсолютной величине максимальные касательные напряжения. Исходя из условия прочности, определяем диаметр вала в опасном сечении:

=[

d

Согласно ГОСТ 6636-69 «Нормальные линейные размеры» из ряда Ra 40 выбираем dн = 1,210-1 м.

Максимальное напряжение в опасном сечении вала:  

 =78-106Па=78МПа

Недогрузка составит:

что соответствует допустимым нормам.

6. Определяем максимальные напряжения по участкам:

Па=-14,5

7. Определяем углы закручивания сечения относительно жесткой заделки и строим эпюру углов закручивания.

Определять углы закручивания начинаем со стороны жесткой заделки. Для простоты решения задачи обозначим границы участков точками (А, В, С, D).

Угол закручивания в точке А равен:.=0

Угол закручивания в точке В складывается из угла закручивания в точке А и угла закручивания участка АВ:

где  J p =

Угол закручивания в точке С равен сумме угла закручивания в точке В и звена ВС:

Угол закручивания в точке D равен сумме угла закручивания в точке С и угла закручивания звена CD:

рад.

Строим эпюру углов закручивания по полученным значениям.

Рис.12