Группа Т 21, 13.04.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Деформации при изгибе

1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня.
2. Определение перемещений графоаналитическим способом.
3. Определение перемещений при помощи теоремы Кастильяно.
4. Определение перемещений при помощи теоремы Максвелла–Мора.
5. Определение перемещений способом Верещагина.

1.  Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

Под  действием внешних сил происходит плоский изгиб. Центр тяжести  какого-либо сечения перемещается в точку .

Рис. 38.

 Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки () в этом сечении.

При деформации балки сечение, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему прежнему положению.

Угол , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

,

т.е. угол поворота сечения равен первой производной от прогиба  по абсциссе сечения .

Прогибы  считаются положительными, если точки ее оси смещаются при деформации вверх от оси .

Углы поворота  положительны, если поперечное сечение при деформации поворачивается против хода часовой стрелки.

Между кривизной и изгибающим моментом получена связь:   .

Универсальное уравнение углов поворота сечений

.

Универсальное уравнение прогибов или изогнутой оси

.

В этих уравнениях:  – модуль упругости первого рода;  – осевой момент инерции;  – расстояния от начала координат до нагрузки , ,  (расстояние  берется до начала интенсивности ).

Параметры  и  определяются из граничных условий:

1. для консольной балки угол поворота и прогиб сечения в заделке равен нулю;
2. для балки на двух опорах прогибы на этих опорах равны нулю.

Знак определяется по правилу знаков для изгибающих моментов.

2. Определение перемещений графоаналитическим способом

При решении ряда задач достаточно найти прогиб и угол поворота лишь для конкретных сечений. В этом случае применяют графоаналитический метод. Метод основан на сходстве дифференциальных зависимостей между прогибом, изгибающим моментом и интенсивностью сплошной нагрузки.

Возьмем балку, к которой приложены внешние силы. Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси:

.

Под первоначально принятой балкой изобразим еще одну балку такой же длины, нагруженную распределенной нагрузкой . Вторую балку назовем фиктивной. Вычислим для этой балки изгибающий момент , используя формулу Журавского:

.

Допустим, что , т.е. загрузим фиктивную балку эпюрой изгибающих моментов, тогда

.

Проинтегрируем обе части уравнения. В результате получаем

.

Учитывая, что , получим

Угол поворота  действительной балки (от заданной нагрузки) равен поперечной силе в том же сечении фиктивной балки (от фиктивной нагрузки), деленной на жесткость действительной балки.

После повторного интегрирования получим

  или  

Прогиб  действительной балки (от заданной нагрузки) равен изгибающему моменту в том же сечении фиктивной балки (от фиктивной нагрузки), деленной на жесткость действительной балки.

3. Определение перемещений при помощи теоремы Кастильяно

Теорема Кастильяно: частная производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующей этой силе.

Связь потенциальной энергии  с изгибающими моментами:

.

Частная производная от  по одной из сил :     .

Таким образом, прогиб в точке приложения силы :

,

а угол поворота сечения с парой :

.

4. Определение перемещений при помощи теоремы

Максвелла–Мора

формула Максвелла-Мора:

,

 – момент от единичной нагрузки.

Если в этой формуле подразумевается прогиб, то момент  надо вычислять от силы , приложенной в точке, для которой надо найти прогиб. При вычислении угла поворота сечения в качестве единичной нагрузки в этом сечении надо приложить момент .

5. Определение перемещений способом Верещагина

Под единичной нагрузкой подразумевают либо сосредоточенную силу, либо пару сил. Поэтому эпюра изгибающего момента , создаваемого единичной нагрузкой, всегда ограничивается прямыми линиями.

Пусть эпюра  от внешних сил имеет криволинейное очертание, а эпюра – прямолинейное. Площадь элемента длиной  и высотой, равной изгибающему моменту , равна         . Ордината от единичной силы . Тогда формула Максвелла-Мора примет вид:

  или  .

Статический момент сечения         ,

где  – координата центра тяжести эпюры ;  – площадь эпюры .

Подставив значение , получим

.

Так как , то окончательно перемещение определится

,

где  – ордината эпюры изгибающих моментов, построенной от действия единичной силы (если надо определить прогиб) или единичного момента (если надо определить угол поворота). Единичную силу и единичный момент прикладывают в сечении, искомые перемещения которого требуется определить.