Группа Ст 21, 31.03.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Внутренние силовые факторы при изгибе. Поперечная сила и изгибающий момент

Изгибом называют такой вид деформации стержня, который вызван системой сил, перпендикулярных оси стержня, и пар сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня. Главная плоскость – плоскость, проходящая через ось стержня и одну из главных центральных осей инерции сечения стержня.

Изгибом называется такой вид деформации, при котором под действием внешних сил в поперечных сечениях стержня возникают поперечные силы и изгибающие моменты.

Если в поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты – это случай чистого изгиба.

Если в поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и поперечные силы – это поперечный изгиб.

Стержень, работающий на изгиб, называют балкой.

Основные типы балок

шарнирно-неподвижная опора                              шарнирно-подвижная опора

защемленная опора или жесткая заделка

Для определения опорных реакций необходимо составить уравнения равновесия. После чего определяют внутренние силы методом сечений. График, показывающий распределение внутренних сил по длине балки, называется эпюрой. Для построения эпюры надо знать правило знаков.

Рис. 32. Правило знаков

Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна).

Поперечная сила считается положительной, если она стремиться повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент () в поперечном сечении балки определяется как сумма моментов относительно центра тяжести сечения всех сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Поперечная сила () в поперечном сечении балки определяется как сумма проекций на плоскость сечения всех сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Построение эпюр

Анализ внутренних силовых факторов будет наглядным при наличии эпюр – графического изображения изменения внутренних сил по длине балки.

          1) Определяем опорные реакции.

2) Проводим произвольное сечение на предварительно разбитых участках балки и составляем общие выражения для поперечной силы и момента изгибающего.

Пример. Для заданной схемы балки требуется построить эпюры  и .

1. Определим реакции.

,  ,  

.

,  ,

.

Проверка: , ,

Рис. 33.

, , .

2. Проведем сечение  на расстоянии  и рассмотрим левую отсеченную часть. Составим уравнения равновесия.

,    .

Сила  не зависит от , т.е. остается постоянной; график – прямая, параллельная оси абсцисс. Момент  – зависит от , график – прямая. Данное выражение справедливо при .

При , ;

при ,

3. Проведем сечение  на расстоянии  и рассмотрим правую отсеченную часть

(  ).

,    .

При , ;

при , .

По найденным значениям строим эпюры.

2. Дифференциальные зависимости между внутренними силовыми факторами

Вырежем из балки элемент длиной . Изгибающий момент , поперечная сила  и интенсивность внешней нагрузки  связаны между собой определенной зависимостью.

Рис. 34.

Составим уравнения равновесия:

,  ;

,  .

После преобразований (величиной  можно пренебречь) находим

,   .

Первая производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки.  Первая производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе (теорема Журавского).

Из полученных дифференциальных зависимостей вытекает третья:

.

Вторая производная от изгибающего момента равна интенсивности распределенной нагрузки.

Эти зависимости позволяют установить правила, которые определяют характер эпюр Q и М, применяемые для контроля правильности их построения:

l. Ecли на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q=0, то эпюра Q на этом участке представляет собой прямую, параллельную так называемой нулевой оси, а эпюра М – наклонную прямую.

2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой, то есть q= const эпюра Q - наклонная прямая, а эпюра М - квадратичная парабола, выпуклостью направленная навстречу q.

3. Если на участке Q > 0, то М возрастает, если Q < 0, то М убывает, если Q = 0, то M = const.

4. Если перерезывающая сила Q пересекает так называемую нулевую ось, то в сечении, где поперечная сила равна нулю - изгибающий момент имеет экстримальное значение.

5. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q имеет скачок на величину значения сосредоточенной силы, а на эпюре М скачкообразно изменяется угол наклона эпюры.

6. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре М -скачок на значение сосредоточенного момента.

7. Если в шарнирной опоре не приложен сосредоточенный момент, то М в опоре равен нулю.