Группа Т 21, 23.03.2022 г., техническая механика
методическая разработка

5. Изгиб

5.1 Поперечная сила и изгибающий момент

Изгибом называют такой вид деформации стержня, который вызван системой сил, перпендикулярных оси стержня, и пар сил, лежащих в одной из главных плоскостей стержня.

Главная плоскость – плоскость, проходящая через ось стержня и одну из главных центральных осей инерции сечения стержня.

При таком изгибе в каждом сечении стержня действуют только два внутренних силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Поперечная сила (Q) – результирующая всех внутренних касательных напряжений в поперечном сечении балки, которая численно равна алгебраической сумме всех внешних сил (рис.24), приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

Q

Рис. 24.

Изгибающий момент (М) - результирующий момент всех внутренних нормальных напряжений в поперечном сечении балки относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и перпендикулярной плоскости действия внешних нагрузок, который численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

При построении эпюр применяют правило знаков, зависящее от того, какое сечение будет рассматриваться - левое или правое (рис.25).

Поперечная сила в сечении балки считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки элемент бесконечно малой длины по ходу действия часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки считается положительным, если он вызывает растяжение нижних волокон.

Рис. 25

Между внешней нагрузкой, в частности, интенсивностью распределенной нагрузки q, поперечной силой Q и изгибающим моментом М имеются дифференциальные зависимости, которые называются теоремами Журавского:

Эти зависимости позволяют установить правила, которые определяют характер эпюр Q и М, применяемые для контроля правильности их построения:

l. Ecли на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0, то эпюра Q на этом участке представляет собой прямую, параллельную так называемой нулевой оси, а эпюра М – наклонную прямую.

2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой, то есть q = const эпюра Q - наклонная прямая, а эпюра М - квадратичная парабола, выпуклостью направленная навстречу q.

3. Если на участке Q > 0, то М возрастает, если Q < 0, то М убывает, если Q = 0, то M = const.

4. Если перерезывающая сила Q пересекает так называемую нулевую ось, то в сечении, где поперечная сила равна нулю - изгибающий момент имеет экстремальное значение.

5. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q имеет скачок на величину значения сосредоточенной силы, а на эпюре М скачкообразно изменяется угол наклона эпюры.

6. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре М -скачок на значение сосредоточенного момента.

7. Если в шарнирной опоре не приложен сосредоточенный момент, то М в опоре равен нулю.

Пример 1

Для стальной балки построить эпюры Q и М, из расчета на прочность подобрать номер двутаврового сечения, если заданы:

[] = 140 МПа, а = 2,0 м; b = 1,0 м, F = 14 kH, q = 2,8 kH/м, М = 1кНм (рис.27).

Решение:

1. Определяем опорные реакции, произвольно их направляя:

l)= 0; XА = 0  

2) =0; YА - qa – F + Yв = 0

3)  F.

Из (3) уравнения:

Из (2) уравнения: YA=

Проверка:

∑mB =

0=0 (верно)

Значит, опорные реакции определили и выбрали их направление верно.

2. Разбиваем балку на участки, произвольно проводим сечения, задаем их координаты.

3. Составляем уравнения для определения поперечных сил и изгибающих моментов, задавшись положительным направлением:

 I участок:x1a

Q1 = - F - qa,

при x1 = 0; Q1  = - F = - 14 kH

при x1= a; Q1 = - F - q· a = - 14 - 2,8·2 = - 19,6 kH

M1 = - F·x1 – q x1,

при x1 = 0; M1 = 0

при x1 = a; M1 = - F·a – q·a·= - 14·2 - 2,8·2·= - 33,6 kHм

при x1 =;  M I  = - F·  · · = - 14 ·1 – 2,8·1·0,5 = - 15,4 kHм

II участок: 0≤ x2≤b

QII = - YB = 34, 6 кН

MII = YB·+ M,

при x2 = 0; M II  = M = 1 kHм,

при x2 = b; M II  = YB·b + M = - 34,6 ·1+1 = - 33,6 kHм

Рис. 28.