Группа Вс 21, 24.02.2022 г., техническая механика
методическая разработка

Расчеты на прочность при смятии

Пример № 1

Круглый стержень, растягиваемый силой F = 180 кН укреплен на детали с помощью чеки прямоугольного сечения (рис.1). Из условий прочности на растяжение, срез и смятие стали определить диаметр стержня d, необходимую длину а хвостовой его части, а также размеры поперечного сечения чеки t и h без учета ее работы на изгиб. Допускаемые напряжения принять: [σр] = 160 МПа, [τср] = 100 МПа, [σсм] = 320 МПа.

Рис.1

Решение.

Стержень под действием силы F испытывает растяжение, ослабленным сечением будет сечение стержня, которое проходит через чеку. Его площадь определяется как разность площадей круга и прямоугольника, у которого одна сторона равна ширине чеки t, а вторую можно принять равной диаметру стержня d.   . Эта площадь показана на (рис. 1, ж).

По условию прочности на растяжения

определяем площадь растяжения, подставляя N = F, имеем:

приравнивая   (1) получаем первое уравнение. В хвостовике стержня под давлением чеки может произойти срез по площади Аср = 2(a - h)∙d. Из условия прочности на срез

определим площадь среза хвостовика

отсюда 2(a - h)·d = 1800    (2) получаем второе уравнение.

Исходя из условия равно прочности на  срез стержня и чеки определяем площадь среза чеки, которая определяется как A2ср = 2h∙t и равны A1ср  т.е. A2ср = A1ср, поэтому получаем третье уравнение 2h∙t = 1800     (3).

Под действием силы F чека, оказывая давление на внутреннюю часть стержня вызывает смятие стержня по площади Aсм = d·t. Из условия прочности на смятие            

определяем площадь смятия:

Таким образом, получим четыре уравнения для определения диаметра стержня d, длины хвостовика а и размеров поперечного сечения чеки t и h:

2(a - h)∙d = 1800         (4)

2h∙t = 1800

d∙t = 56,25

подставим в первое уравнение системы (4) вместо d∙t = 56,25, получим:

 – 56,25 = 1125 или  = 1125 + 56,25 = 1687,5

отсюда   т.е. d=46,4мм

 т.к. d∙t=56,25,   ;    t = 12,1 мм.

Из третьего уравнения системы (4) определяем h.

2h∙t = 1800, отсюда ;    h = 74,3 мм.

Из второго уравнения системы (4) определяем а.

2(a - h)∙d = 1800

(a - h) = 900, отсюда

Итак, а = 93,7 мм.

Пример № 2

Проверить прочность тяги на растяжение, а болта на срез и смятие, если к тяге приложена сила F = 60 кН, размеры даны на (рис.2), при допускаемых напряжениях: на растяжение [σр] = 120 МПа, на срез [τср] = 80 МПа, на смятие [σсм] = 240 МПа.

Рис. 2

Решение.

Устанавливаем, какие виды деформаций испытывают детали соединения. Под действием силы F стальная тяга диаметром d и проушина с наружным диаметром D1 и внутренним D2 будут испытывать растяжение, площадка тяги представляет собой окружность с площадью

в проушине, ослабленной отверстием D2 разрыв может произойти по площади A2р = (D1 – D2)∙в. Используя условия прочности при растяжении

проверяем прочность тяги на растяжение; т.к.  N = F, то

т.е. тяга удовлетворяет условию прочности.

Растягивающее напряжение в проушине;

Прочность проушине обеспечена.

Болт диаметром D2 испытывает срез по двум плоскостям, каждая из которых равна площади поперечного сечения болта, т.е.

Из условия прочности на срез:

Внутренняя часть проушины оказывает давление на поверхность болта, поэтому смятию подвергается цилиндрическая поверхность болта по площади Асм = D2·в.

Из условия прочности на смятие:

выполняем проверку прочности болта на смятие

Пример № 3

Болт диаметром d = 100мм, работающий на растяжение, опирается головкой на лист (рис. 3). Определить диаметр головки D и высоту ее h, если растягивающее напряжение в сечении болта σр = 100 Н/мм2, напряжение смятия по площади опирания головки σсм = 40Н/мм2 и напряжения среза головки τср = 50 Н/мм2.

Рис.3

Решение.

Приступая к решению задачи, нужно установить какие виды деформаций испытывает стержень болта и его головка, чтобы затем использовать соответствующие расчетные зависимости. Если уменьшать диаметр болта d, то это может привести к разрыву, так как стержень болта испытывает растяжение. Площадь поперечного сечения, по которой может произойти разрыв  (рис. 3,в). Уменьшение высоты головки h, если прочность головки стержня окажется недостаточной, повлечет за собой срез по боковой поверхности цилиндра высотой h и диаметром d (рис. 3,а). Площадь среза   Аср = π·d·h.

Если будет уменьшаться диаметр головки D, то воспринимающая силу F, опорная кольцевая поверхность головки стержня может подвергнуться смятию. Площадь смятия  (рис. 3,б).

Таким образом, расчет необходимо вести по условиям прочности на растяжение, срез и смятие. При этом следует соблюдать определенную последовательность, т.е. начинать расчет с определения тех силовых факторов или размеров, которые не зависят от других определяемых величин. В данной задаче начинаем с определения внутренней силы Ν, которая равна по величине срезающей силе Q прикладываемой к болту силы F.

Из условия прочности при растяжении

определяем силу N, которая равна по величине силе Q = F.

 Сила 

Из условия прочности на срез    определим высоту головки

болта, т.к. Q = F, то, , но Aср = πdh,   поэтому .

Определяем диаметр опорной поверхности головки болта из условия ее прочности на смятие

Отсюда

Ответ: h = 50 мм, D = 187 мм.

Пример № 4

Определить какую силу F (рис. 4) надо приложить к пуансону штампа для пробивки в стальном листе толщиной t = 4 мм, размером в × h = 10×15, если предел прочности на срез материала листа τпч = 400 МПа. Определить также напряжение сжатия в пуансоне.

Рис.4

Решение.

Под действием силы F произошло разрушение материала листа по четырем поверхностям, когда действительное напряжение достигло предела прочности τпч при срезе. Следовательно, надо определить внутреннюю Q и равную ей внешнюю силу F по известному напряжению и размерам h, в и t площадь деформируемых сечений. А эта площадь представляет собой площадь четырех прямоугольников: двух с размерами h × t и двух с размерами в × t.

Таким образом,  Аср= 2·h·t + 2·в·t = 2t·(h+ в) = 2·4·(15+10) = 200 мм2.

Касательное напряжение при срезе срез

но так как Q = F; 

F = 𝜏пч∙Aср = 400·200 = 80000 Н = 80 кН;    F =80 кН

Напряжение сжатия в пуансоне

Ответ: F =80кН; σсж = 533,3 МПа.

Пример № 5

Деревянный брус квадратного сечения, а = 180 мм (рис.5) подвешен на двух горизонтальных прямоугольных балках и нагружен растягивающей силой F = 40 кН. Для крепления на горизонтальных балках в брусе выполнены две врубки до размера в = 120 мм. Определить возникающие в опасных сечениях бруса напряжения растяжения, среза и смятия, если с = 100 мм.

Рис.5

Решение.

Под действием силы F в брусе, ослабленном с двух сторон врубками возникаем растягивающее напряжение σ. В опасном сечении, размеры которого Ар = в∙а = 120∙180 = 21600 мм2. Нормальное напряжение σ, учитывая, что внутренняя сила N в сечении равна внешней силе F равно:

Касательные напряжения скалывания τск возникают в двух опасных сечениях от давления горизонтальных балок на вертикальный брус, под действием силы Q = F. Эти площадки расположены в вертикальной плоскости, их величина Аск2∙с∙а =2∙100∙180=36000 мм2.

Вычисляем напряжения скалывания, действующих на этих площадках:

Напряжение смятия σсм возникает от действия силы F в двух опасных сечениях  вертикального бруса в верхней части горизонтальных балок, оказывающих давление на вертикальный брус. Их величина определяется Асм=а∙(а-в) = 180∙(180-120) =180∙60 = 10800 мм2.

Напряжение смятия

Пример № 6

Определить необходимые размеры врубки «прямым зубом». Соединение показано на (рис. 6). Сечение брусьев квадратное, растягивающая сила F = 40 кН. Допускаемые напряжения для древесины имеют значения: на растяжение  [σр]= 10МПа, на скалывание [τск]= 1МПа, на смятие [σсм] = 8 МПа.

Рис.6

Решение.

Сопряжения элементов деревянных конструкций – врубки рассчитываются на прочность из условия их работы на растяжение, скалывание и смятие. При достаточной величине сил F, действующих на врубку прямым зубом (рис.6), может произойти скалывание по сечениям de и mn, по этим сечениям возникают касательные напряжения, величина которых определяется в предположении их равномерного распределения по площади сечения. Площадь сечения de или mn Аск = а∙с.

Условие прочности имеет вид:

отсюда,

а·с = 4000 мм2          (1)

В вертикальной стенке зуба на площадке mе имеет место деформация смятия. Площадь сечения, по которой может произойти смятие Асм = в∙а.    

Из условия прочности на смятие:

имеем  или в·а = 5000 мм2                 (2)

Исходя из разнопрочности деталей А и В, разрыв их может произойти по сечению, площадь которой .

Условия прочности на растяжение имеет вид:

В результате получим систему уравнений: 1, 2, 3.

а∙с = 4000

в∙а = 5000  

Выполнив преобразование в третьем уравнении системы (4), получим:

а∙с = 4000      

в∙а = 5000                                                                (4’)

а2 - а∙в = 8000

уравнение (3) системы (4’)  принимает вид а2 = 8000+а∙в = 8000+5000 = 13000 отсюда а =  = 114 мм;

из уравнения (2) системы (4’)

из уравнения (1) системы (4’)

Ответ: а = 114 мм; в = 44 мм;  с = 351 мм.

Пример № 7

Соединение стропильной ноги с затяжкой выполнено с помощью лобовой врубки (рис. 7). Определить необходимые размеры (х, х1,y), если сжимающее усилие в подкосе равно F=60 кН, угол наклона крышки α = 30о, размеры сечения брусьев h = 20 см, в = 10 см. Допускаемые напряжения приняты: на растяжения и сжатие вдоль волокон [σ] = 10 МПа, на смятие поперек волокон [σсм] = 8 МПа, на смятие вдоль волокон [σ90] = 2,4 МПа и на скалывание вдоль волокон [τск] = 0,8 МПа. Проверить также прочность стропильной ноги на сжатие и затяжки в ослабленном месте сечения на растяжение.

Рис.7

Решение.

Определяем усилия, действующие по плоскостям врубки. Для этого раскладываем силу F на вертикальную составляющую  F1 и горизонтальную составляющую F2,  получим

F1 = F sin𝛼 = 60∙0,5 = 30 кН.

F2 = F cos𝛼 = 60∙0,867 = 52,02 кН. 

Эти силы уравниваются реакцией опоры R = F1 и растягивающим усилием в затяжке N = F2. Сила F1 вызывает смятие затяжки по площади опирания на опорную подушку (перпендикулярно к волокнам). Условия прочности на смятие:

откуда,  т.к. Асм =х1∙в,  то 

Конструктивно она принимается значительно больше. Глубину врубки y определяем из условия, что сила F2 вызывает смятие по вертикальной упорной, и площадке Асм = у∙в в месте контакта торца строительной ноги с затяжкой. Из условия прочности на смятие имеем:

  т.к. Асм =у·в, то .

Конец затяжки испытывает скалывание вдоль волокон под действием этой же горизонтальной силы F2. Длину х затяжки, выступающую за врубку, определим из условия прочности на скалывание:

т.к. τск = 0,8 МПа, . Площадь скалывания Аск= в∙х

Следовательно, в∙х = 65000, откуда

Проверим прочность строительной ноги на сжатие:

Проверим прочность затяжки в ослабленном сечении:

т.е. прочность обеспечена.

Пример № 8

Определить напряжение растяжения, вызываемое силой F = 30 кН в ослабленном, тремя заклепками сечения стальных полос, а также напряжения среза и смятия в заклепках. Размеры соединения: ширина полос а = 80 мм, толщина листов δ= 6 мм, диаметр заклепок d = 14 мм (рис.8).

Рис.8

Решение.

Максимальное напряжение растяжения возникает в полосе по сечению 1-1 (рис. 8,а) ослабленному тремя отверстиями под заклепки. В этом сечении действует внутренняя сила N, равная по величине силе F. Площадь поперечного сечения показана на (рис. 8, г) и равна Ар = а∙𝛿 – 3∙d∙𝛿 = 𝛿∙(a-3d).

Напряжение в опасном сечении 1-1:

Срез вызывается действием двух равных внутренних сил , направленных в противоположные стороны, перпендикулярно оси стержня (рис. 8,в). Площадь среза одной заклепки равна площади круга  (рис.8,д), площадь среза всего сечения , где  n – число заклепок, в данном случае n = 3.

Подсчитываем напряжение среза в заклепках:

На стержень заклепки давление со стороны отверстия в листе передается по боковой поверхности полуцилиндра (рис. 8, д), высотой, равной толщине листа δ. С целью упрощения расчета за площадь смятия вместо поверхности полуцилиндра условно принимают проекцию этой поверхности на диаметральную плоскость (рис. 8,е), т.е. площадь прямоугольника efck, равную d𝛿.

Вычисляем напряжение смятия в заклепках:

Итак σр = 131,6 МПа,   τср = 65 МПа,   σсм = 119 МПа.

Пример № 9

Стержень фермы, состоящий из двух швеллеров №20, соединен с фасонным листом (косынкой) узла фермы заклепками расчетным диаметром d=16 мм (рис.9). Определить требуемое число заклепок при допускаемых напряжениях: [τср] = 140 МПа;  [σсм] = 320 МПа;  [σр] = 160 МПа. Проверить прочность стержня.

Рис.9

Решение.

Определяем размеры поперечного сечения швеллера №20 по ГОСТ 8240-89 А = 23,4 см2, толщина стенки швеллера δ = 5,2 мм. Из условия прочности на срез

 где Qср – поперечная сила: при нескольких одинаковых соединительных деталях Qср = F/i (F – общая нагрузка соединения; i – число заклепок;  Асp – площадь среза одной заклепки; [τср] – допускаемое напряжение на срез, зависящее от материала соединительных элементов и условий работы конструкций.

Обозначим z – число плоскостей среза соединения, площадь среза одной заклепки , тогда из условия прочности (1) следует, что допускаемая сила на одну заклепку:

Здесь принято z = 2, т.к. заклепки двухсрезные.

Из условия прочности на смятие

где Асм = d∙𝛿к

𝛿к – толщина фасонного листа (косынки). d – диаметр заклепки.

Определим допускаемую силу на одну заклепку:

Толщина косынки 9 мм меньше удвоенной толщины швеллера 10,4 мм, поэтому она и принята в качестве расчетной.

Требуемое число заклепок определяем из условия прочности на смятие, так как .

Обозначим n–число заклепок, тогда  принимаем n=12.

Проверяем прочность стержня на растяжение. Опасным сечением будет сечение 1-1, так как в этом сечении действует наибольшая сила F, а площади во всех ослабленных сечениях одинаковы, т.е. , где А = 23,4 см2 площадь поперечного сечения одного швеллера №20 (ГОСТ 8240-89).

Следовательно, прочность швеллеров обеспечена.

Пример № 10

Зубчатое колесо А соединено с валом В призматической шпонкой (рис. 10). С зубчатого колеса передается на вал диаметром d =40 мм момент М = 200 Нм. Определить длину ℓ призматической шпонки, учитывая, что допускаемые напряжения материала шпонки равны: на срез [τср] = 80 МПа, а на смятие [σсм] = 140 МПа  (размеры на рис. указаны в мм).

Рис.10

Решение.

Определяем усилие F, действующее на шпонку со стороны соединяемых деталей. Момент, передаваемый на вал равен , где d – диаметр вала. Откуда . Предполагается, что усилие F равномерно распределено по площади шпонки , где ℓ - длина шпонки, h – ее высота.

Длина шпонки, необходимая для обеспечения ее прочности, может быть найдена из условия прочности на срез

и условия прочности на смятие

Находим длину шпонки из условия прочности на срез, так как срез происходит по площади Аср = в·ℓ, то ;

Из условия прочности (2) на смятие, имеем:

Для обеспечения прочности соединения длину шпонки необходимо принять равной большему значению из двух полученных, т.е. ℓ=18 мм.

Пример № 11

Вильчатый кривошип укреплен на валу с помощью цилиндрического штифта (рис.11) и нагружен силой F=2,5 кН. Проверить прочность штифтового соединения на срез и смятие, если [τср] = 60 МПа и  [σсм] = 100 МПа.

Рис.11

Решение.

Сначала следует определить величину силы F1, передаваемую на штифт от силы F, приложенной к кривошипу. Очевидно, что М=F∙h равен моменту .

проверим прочность штифта на срез под действием силы F1. В продольном сечении штифта возникает касательное напряжение среза, величина которого определяется по формуле , где Аср=d∙ℓ

Цилиндрическая поверхность штифта под действием силы F1 подвергается смятию. Поверхность контакта, через которую передается сила F1, представляет собой четвертую часть поверхности полуцилиндра, так как за уловную площадь смятия принимается площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость, т.е. dℓ, то Асм = 0,5∙d∙ℓ.

Итак, прочность штифтового соединения обеспечена.

Пример № 12

Рассчитать количество заклепок диаметром d = 4 мм, необходимое для соединения двух листов двумя накладками (см. рис.12). Материалом для листов и заклепок служит дюралюминий, для которого Rbs = 110 МПа, Rbр = 310 МПа. Сила F = 35 кН, коэффициент условий работы соединения γb = 0,9; толщина листов и накладок t = 2 мм.

Рис.12

Решение.

Используя формулы

рассчитываем потребное количество заклепок:

из условия прочности на срез

из условия прочности на смятие

Из полученных результатов видно, что в данном случае решающим явилось условие прочности на смятие. Таким образом, следует взять 16 заклепок.

Пример № 13

Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (см. рис.13) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжение  Rbt = 200 МПа, на срез  Rbs = 160 МПа, на смятие Rbр = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения γb = 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки.

Рис.13

Решение.

Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сечения  Anec из условия прочности на растяжение

Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения Anec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15∙20 = 23 см2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75×75×8 мм.

Производим расчет на срез. Пользуясь формулой , найдем необходимое число болтов

Остановившись на этом числе болтов, определим толщину δ узловой фасонки, используя условие прочности на смятие  

Указания

1. Привязка линии размещения болтов (заклепок) в один ряд находится из условия:  m = b/2 + 5 мм.

В нашем примере (рис. 13)

m = 75/2 + 5 = 42,5 мм.

2. Минимальное расстояние между центрами соседних болтов принимают равным l = 3d. В рассматриваемой задаче имеем

l = 3∙20 = 60 мм.

3. Расстояние от крайних болтов до границы соединения l/ принимается равным 0,7l. В нашем примере l/  = 0,7l = 0,7∙60 = 42 мм.

4. При выполнении условия b≥12 см болты (заклепки) размещают в две линии в шахматном порядке (рис. 14).

Рис.14

Пример № 14

Определить необходимое количество заклепок диаметром 20 мм для соединения внахлестку двух листов толщиной 8 мм и 10 мм (рис.15). Сила F, растягивающая соединение, равна 200 кН. Допускаемые напряжения: на срез [τ] = 140 МПа, на смятие [σc] = 320 МПа.

Рис.15

Решение.

Из условия прочности на срез необходимое число заклепок

Из условия прочности на смятие необходимое число заклепок

Ответ: 5 заклепок.

Пример № 15

Определить длину l призматической шпонки, с помощью которой соединены вал 1 диаметром 0,036 м с колесом 2 (см. рис.16). С вала на колесо передается момент М = 144 Нм. Расчетные сопротивления материала шпонки равны: на срез Rs = 80 МПа, на смятие Rр =320 МПа, коэффициент условий работы соединения γс= 1. Размеры на рисунке указаны в мм.

Рис.16

Решение.

Вначале следует определить величину усилия F, действующего на шпонку со стороны соединяемых деталей. Очевидно, что M=Fd/2, где d – диаметр вала. Следовательно,

F = 2M/d = 2∙144/0,036 = 8000 Н.

Можно допустить, что это усилие равномерно распределено по площади шпонки равной Aр = hl/2, где h = 8 мм – высота шпонки. Необходимая для обеспечения прочности длина шпонки может быть найдена из условий  и , которые применительно к рассматриваемой задаче запишутся так:

Находим длину шпонки из первого условия (прочность на срез):

и из второго условия (условие прочности на смятие):

Следовательно, чтобы соединение было прочным, длину шпонки необходимо принять равной большему значению из двух полученных длин, т.е. 1 см.

Пример № 16

Проверить прочность соединения деревянных элементов – врубки «прямым зубом», показанной на рис.17. Размеры врубки даны на рисунке в мм, растягивающая сила F = 100 кН. Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на скалывание Rск = 2,5 МПа, на смятие Rсм = 10 МПа, коэффициент условий работы соединения γс  = 1.

Рис.17

Решение.

Проверяем выполнение условия прочности на скалывание

Таким образом, условие прочности на скалывание выполняется.

Проверяем условие прочности на смятие

Таким образом, и условие прочности на смятие также выполняется.

Пример № 17

Определить длину флангового сварного шва, необходимую для соединения двумя накладками с двух сторон стальных листов, растягиваемых усилием F = 500 кН (см. рис.18). Расчетные сопротивления: на срез металла шва Rwf = 180 МПа, металла границы сплавления Rwz = 160 МПа. Коэффициенты имеют значения: βf= 0,7;  βz= γwf = 1; γwz= 1; γc= 0,9. Длина катета сварного шва  kf = 0,8 см. Зазором ∆ пренебречь.

Рис.18

Решение.

Рассчитываем необходимую длину двух фланговых швов с каждой стороны одной накладки, используя формулы

Из условия прочности на срез по металлу шва  получим:

Из условия прочности на срез на границе сплавления находим:

Из двух расчетных длин выбираем большую lw = 28 см. Расчетная длина одного шва (с одной стороны накладки) будет lw1 = lw/2 = 14 см. Конструктивная длина одного шва составит lw1 + 2 = 14 + 2 = 16 см.

Расчеты витых пружин

Пример № 18

Пружина изготовлена из стальной проволоки диаметром d =16 мм (см. рис.19), наружный диаметр витка Dн = 136 мм. Проверить прочность при допускаемом напряжении [τ] = 300 МПа. Вычислить необходимое число витков, чтобы обеспечить осадку λ = 60 мм, и накопленную при этом энергию деформации, если F=4 кН.

Рис.19

Решение.

Определяем максимальное действующее напряжение

т. е. меньше допускаемого на 0,67%.

Здесь D = Dн – d=0,12 м – средний  диаметр.

Рабочее число витков

принимаем п=6, при этом λ= 63,4 мм. Полное число витков для пружины сжатия ппол = n + 2 = 8.

Потенциальная энергия пружины при сжатии

Пример № 19

Цилиндрическая винтовая пружина нагружена растягивающей силой F = 500 Н. Определить максимальные касательные напряжения в витках пружины и ее удлинение, если r = 5 мм, R = 6 см, G = 8∙104 МПа, n = 7.

Решение.

Так как R > 5r (6 > 2,5 см), то воспользуемся приближенной формулой для максимальных касательных напряжений

Вычисляем осадку пружины по формуле