Группа Вс 21, 8.11.2021 г., 3 пара, техническая механика
методическая разработка

Главный вектор и главный момент системы

Применяя метод Пуансо для произвольной плоской системы сил (рис. 2.6) и приводя их к центру О, получим систему сил, равных заданной:  но приложенных в центре О, и систему пар с моментами относительно центра О: . Систему сходящихся сил в центре О можно заменить одной силой , которая называется главным вектором системы. Главный вектор на основании аксиомы параллелограмма сил (уравнение 1.3) будет равен:

.                                (2.8)

можно определить геометрически, путём построения силового многоугольника (рис. 2.6а) или аналитически (методом расчёта) через его проекции на координатные оси (рис. 2.6б) по формуле:

.                                        (2.9)

Проекции уравнений (2.8) на оси х, у дают следующие значения:

,                (2.10)

.                (2.11)

С учётом уравнений (2.10) и (2.11)

.                                (2.12)

Из схемы (рис. 2.6б) проекции  и  равны:

                                         (2.13)

                         (2.14)

Аналогично определяются проекции составляющих сил .

а)                                                б)

Рис. 2.6

Правило: проекция силы  на любую ось (, ) равна произведению модуля силы на косинус угла между направлением силы и оси (направляющий косинус). Проекция положительна, если угол между направлением силы и положительным направлением оси острый, и отрицательна, если этот угол тупой.

Главный момент на основании уравнения (2.6) будет равен:

.                                (2.15)

Таким образом, любая система сил на плоскости при приведении к произвольно взятому центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы (уравнение 2.12), и одной парой с моментом , равным главному моменту системы относительно центра О (уравнение 2.15).

Примечания:

1. сила  не является равнодействующей данной системы сил, так как она заменяет систему сил не одна, а вместе с парой;
2. значение силы  от выбора центра О не зависит;
3. значение момента  при изменении положения центра О может изменяться вследствие изменения моментов слагаемых сил. При равновесии =0, за центр может быть выбрана любая точка.

Частные случаи приведения

В зависимости от значений главного вектора  и главного момента  произвольная плоская система сил может быть приведена к следующим простейшим видам:

1. Если =0 и Мо=0, то система находится в равновесии.

2. Если , а Мо=0, то система приводится к одной силе . Эта сила является равнодействующей данной произвольной плоской системы сил.

3. Если =0 и , то система приводится к одной паре . В этом случае величина Мо не будет зависеть от выбора центра О, так как иначе мы получили бы, что одна и та же система заменяется разными, не эквивалентными друг другу парами, что невозможно.

4. Если и , то система также приводится к одной силе, равной главному вектору , но приложенному в точке С, смещенной относительно центра приведения О на расстояние:

.                                        (2.16)

Для доказательства изобразим пару с моментом Мо (рис. 2.7а) ей эквивалентной парой двух сил 'и". Причем '=,a "= (рис. 2.76).

Момент эквивалентной пары R.d=Мо. Отбросим силы и", как уравновешенные, и получим, что система заменяется одной силой '=, но проходящей через точку С.

Таким образом, рассмотренные случаи показывают, что плоская система сил, если не находится в равновесии, приводится к одной равнодействующей (случай 2, и случай 4, когда, , )или к одной паре (случай 3, когда =0).

а)                                б)

Рис. 2.7