Применение IT-технологий при изучении математики

Применение IT-технологий при изучении математики

(на примере компьютерной программы Derive)

Современное представление о качественном образовании включает как необходимый элемент свободное владение компьютерными технологиями. Применение их в учебном процессе - актуальная методическая и организационная задача каждого педагога. Одновременно эта задача может и должна быть решаема любым учащимся, имеющим опыт общения с ПК, ведь компьютер в наше время — не роскошь, а средство получения знаний.

Компьютерная математика — новое направление науки и техники, возникшее на стыке классической математики и информатики. Главной ударной силой компьютерной математики стало современное программное обеспечение. Пользователи с их помощью способны решать практически любые математические и прикладные задачи.

Профессиональные математические пакеты - это программы, обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов, от простых арифметических вычислений, до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез, средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов. Все они имеют развитые средства научной графики, удобную справочную систему, а также средства оформления отчетов. Название «профессиональный» или «универсальный» используется как альтернатива названию «учебный пакет»

Системы компьютерной математики в настоящее время представлены разработками, в основном, известных западных фирм (MathSoft, MATLAB, MathСad, Maple, Wolfram и другие.

Однако есть проблемы, возникающие при использовании профессиональных пакетов: это затраты времени на изучение правил работы с программой, чрезмерно высокие требования к аппаратным ресурсам, дороговизна, как самой системы, так и пакетов расширения. А самое главное, на мой взгляд, все эти программы ориентированы на опытных пользователей и специалистов по математике.

Борьба за потребителя, стремление расширить круг пользователей, привели к тому, что, сохраняя индивидуальные особенности, пакеты сближаются, становятся настолько похожими, что навыки работы с одним из них, позволяют очень быстро освоиться с работой в любом другом. Разработчики математических пакетов очень быстро оснащают свои программы всеми технологическими новшествами, быстро выпускают версии для новых платформ и операционных систем. Развиваются интеллектуальные возможности пакетов: добавляются новые библиотеки, круг доступных исследованию задач расширяется в соответствии с модой, с появлением новых приложений, новых методов исследования.

Лично я столкнулась с выбором определенной программы в прошлом учебном году, когда учащиеся моего творческого объединения совместно с учителем математики писали учебно-исследовательскую работу на тему «Замечательные кривые». И одним из пунктов их проекта было построение кривых и графиков. Ко мне они обратились за помощью в подборе программы для реализации их исследований.

В качестве опорной для изучения и работы мы выбрали программу Derive. Эта мощная, но при этом и простая в использовании программа для математических расчетов и построения графиков. Она ориентирована, прежде всего, на школьников и студентов начальных курсов ВУЗов. Имеет скромные требования к аппаратным ресурсам, поэтому может использоваться практически на всех ныне действующих компьютерах.

Основные задачи, которые можно решать с применением данной программы, следующие:

- Символьные и численные вычисления:

• выполнение операций точной арифметики;

• вычисление фундаментальных констант с произвольной точностью;

• упрощение математических выражений;

• выполнение подстановок одних выражений в другие;

• выделение общих множителей и делителей;

• вычисление сумм и произведений рядов;

• дифференцирование выражений;

• интегрирование выражений;

• вычисление пределов функций;

-Численное и символьное решение уравнений:

• решение линейных и нелинейных уравнений и их систем;

• решение неравенств и их систем;

-Линейная алгебра:

• множество операций с векторами и матрицами;

• вычисление определителей;

-Графическая визуализация вычислений:

• построение графиков функций в декартовой системе координат;

• построение графиков функций в полярной системе координат;

• построение графиков трехмерных поверхностей;

• построение пересекающихся в пространстве объектов;

• анимирование трехмерных графиков.

Давайте кратко рассмотрим интерфейс программы, основные меню и рабочую область. При запуске Derive появляется основное окно с заставкой системы. В основном окне видны строка заголовка, строка меню, панель инструментов и строка состояния системы (в нижней части окна). Интерфейс пользователя системы Derive позволяет выполнять большинство вычислений вообще без программирования, используя только команды меню.

В строке меню практически всех математических систем, в том числе и Derive имеются следующие позиции:

•File (файл) — работа с файлами (открытие, закрытие, запись на диск, печать);

•Edit (правка) — редактирование документов и использование буфера обмена;

•Insert (вставка) — вставка объектов (включая графику);

•Window (окно) — управление окнами системы;

•Help (справка) — работа со справочной базой данных о системе.

Назначение этих меню то же, что и у офисных программ. Строка меню помимо обычных меню File, Edit, Window и Help имеет следующие специфические:

•Author — ввод математических выражений для их последующего преобразования;

•Simplify — различные преобразования числовых и буквенных  математических выражений;

•Solve — решение математических уравнений;

•Calculus — вычисление производных, интегралов, пределов функций, сумм, произведений;

•Declare — объявление функций и переменных;

•Options — задание различных параметров системы.

Строка меню обеспечивает доступ ко всем командам системы. Набор позиций может модифицироваться в зависимости от текущего состояния системы. Некоторые команды меню при этом могут быть недоступными или вообще отсутствовать.

Применение кнопок на панели инструментов обеспечивает удобный способ управления системой, однако они предоставляют доступ только к часто используемым командам, поэтому не стоит забывать о строке меню и “горячих” клавишах. Узнать название кнопки помогает всплывающая подсказка.

Вычисления при работе с программой идут по схеме: “задал вопрос — получил ответ”. Для ввода математических выражений предназначено диалоговое окно Autor Expression. Если после ввода выражения щелкнуть на кнопке ОК, выражение появится в окне выражений и будет выделено цветом — белым на синем фоне. Если после ввода выражения щелкнуть на кнопке Simplify, выражение будет вычислено и в окне выражений появится результат.

Нами в первую очередь был изучен графический редактор Derive, одним из основных достоинств которого является быстрое и наглядное построение двухмерных и трехмерных графиков в двух системах координат – декартовой и полярной.

Построение графиков функций — самостоятельная математическая задача. Кроме того, графики могут быть полезны при решении уравнений, неравенств, их систем, как в приближенном, так и точном численном виде.

Для построения двухмерных графиков существует команда New 2D-plot Window, при этом открывается новое окно. Его основными объектами являются: строка заголовка, строка меню, панель инструментов, координатная система, графический курсор (в виде креста +), строка состояния, в которой отображаются координаты курсора (Cross).

Окно двухмерных графиков имеет собственную строку меню, в которой имеются следующие позиции:

• File — открытие окна, предварительный просмотр и печать графиков;

•Edit — создание и удаление комментария, стирание последнего графика и копирование графика целиком или выделенной части в буфер обмена;

• Set — центрирование, установка масштаба и размера графика;

• Plot — инициирование построения графика для выделенного выражения;

• Options — установка параметров (см. ниже);

• Windows — управление окнами;

• Help — команды справочной системы Derive.

Настройки координатных осей, цветового решения графика и т.п. производят с помощью команды Display в меню Options, которое также содержит несколько вкладок. В целом графики Derive с параметрами, установленными по умолчанию, выглядят вполне привычно. При работе с графиком удобно использовать курсор для определения, например, координат характерных точек. После редактирования графика его можно полностью или частично скопировать в буфер обмена для вставки в другие программы (например, Microsoft Word), а также сохранить внутри программы (как файл Derive).

Для построения графиков поверхностей надо задать функцию двух переменных вида z(x, y) = f(x, y) или просто f (х, у). После выделения строки с такой функцией надо выбрать команду New 3D-plot, которая открывает новое окно для трехмерной графики с собственной строкой меню и панелью инструментов. Чтобы построить график, требуется щелкнуть на аналогичной кнопке на панели инструментов окна графика.

С помощью команд панели инструментов или строки меню вид графика можно существенно изменить, откорректировав масштаб и угол зрения. Интересной особенностью является и то, что можно анимировать полученное изображение, нажав клавишу «Поворот», при этом, изменяя наклон графика, можно увидеть его практически с любой стороны. Зная уравнения плоскостей или пространственных тел, можно находить и видеть на рисунке их пересечение.

Так как я занимаюсь IT-технологиями для использования их в основном в творчестве через создание видеофильмов, фотоколлажей, то в ходе этой работы меня заинтересовала в первую очередь эстетическая сторона проекта.

Как-то раз итальянский геометр Гвидо Гранди создал розы. Нет, это не прекрасные растения, известные всем, а правильные и плавные линии. Их очертания не каприз природы – они предопределены специально подобранными математическими зависимостями. Семейство роз Гвидо Гранди описывал уравнением в полярных координатах r = a sin kϕ, где a и k - некоторые постоянные.

Очарованные результатами Гранде, мы с учащимися и учителем математики «вырастили» свой «математический цветник». Каждый цветок в нем подбирался очень кропотливо, мы экспериментировали с показателями переменных а и k. Были и неудачи, куда же без них. Но в итоге, мы собрали целую коллекцию цветов.

В последнее время всё активнее ведутся споры: что есть компьютер на уроке математики? Очередная государственная кампания? Игрушка для учеников? Суперлогарифмическая линейка? В одной из книг я нашла карикатуру: ученик, приложив компьютер к листу бумаги, очерчивает с его помощью прямую. В ходе выполнения работы я поняла, что компьютер - это как прибор для физика. Можно и без него, но получится хуже или дольше. И этот прибор может отвечать на достаточно серьезные вопросы. Значит, надо научиться задавать такие вопросы и верно интерпретировать полученные ответы. Умение задать грамотный вопрос, верно истолковать полученный результат, понимание того, как компьютер мог бы решить данную задачу - всё это называется  математической культурой и, наверное, является главной целью применения вычислительной техники на занятиях.

Можно долго спорить о целесообразности применения компьютерных технологий в математике. Но то, что компьютерная математика есть свершившаяся реальность, очевидно.

Итак, сделаем некоторые выводы:

1.        Компьютер является вычислительным устройством и при наличии соответствующего программного обеспечения может решить все школьные задачи. Для этого нужна программа, которой можно было бы несложно пользоваться. К ней предъявляются несколько основных требований — отсутствие программирования; привычная запись формул; получение ответа в символьном виде;  отсутствие необходимости подготовки документа; все формулы независимы. Всем этим требованиям удовлетворяет система компьютерной математики Derive.

2.        Изученная программа при явных преимуществах всё же имеет свои особенности и недостатки:

•        Панель программы содержит редко используемые символы, зато на ней отсутствуют цифры, приходится при наборе пользоваться дополнительно и мышью, и клавиатурой компьютера

•        Derive не имеет встроенного редактора формул, поэтому ввод математических выражений иногда бывает весьма затруднительным. Кроме того, при копировании и применении результатов работы в других программах (например, для оформления работы в текстовом редакторе Word), формулы имеют непривычный и неудобный вид.

•        Компьютер не всегда хорошо справляется с тождественными преобразованиями (особенно тригонометрических выражений). Почему? На этот вопрос я нашла вполне логичный ответ: а что такое, собственно, "упростить"? Как формализовать такое задание?

Но, перечисляя недостатки, важно и нужно учитывать, что программные средства разнятся и совершенствуются. Поэтому важно усвоение компьютерной идеологии, глубокое понимание того, что и как он делает в принципе, независимо от того, с каким конкретным программным обеспечением имеем дело.

Учащийся трудится, его труд - учеба. Чем совершеннее орудия труда, тем более высоких результатов он добивается. Использование математических пакетов упрощает подготовку отчетов по лабораторным работам, помогает преодолеть технические математические трудности при решении инженерных задач, расширяет круг доступных для решения задач, помогает представить результаты вычислений в наглядной графической форме.