Лекции по технической механике

Конструкции зубчатых колес

Основные     элементы    эвольвентного    зацепления.

        Основная теорема зацепления (Виллиса) гласит: Общая нормаль в точке контакта сопряженных профилей в любой момент взаимодействия должна проходить через полюс зацепления, положение которого на межосевой линии делит ее на отрезки, обратно пропорциональные скоростям вращения колес, участвующих в зацеплении, т. е. 

где О1, О2 – центры вращения соответственно шестерни и зубчатого колеса, а О1О2 – межцентровое (межосевое) расстояние; Р – полюс зацепления.

        Профили зубьев, удовлетворяющие требованию основной теоремы зацепления, называются сопряженными. Таких профилей можно подобрать довольно много, но широкое распространение в машиностроении и приборостроении нашли предложенные Эйлером – эвольвенты.

         Эвольвентное зацепление позволяет передавать движение с постоянным передаточным отношением. Эвольве нтное зацепление - зубчатое зацепление, в котором профили зубьев очерчены по эвольвенте окружности.
Для этого необходимо чтобы зубья зубчатых колёс были очерчены по кривой, у которой общая нормаль, проведённая через точку касания профилей зубьев, всегда проходит через одну и ту же точку на линии, соединяющей центры зубчатых колёс, называемую полюсом зацепления.

        Эвольвента – геометрическое место точек прямой, катящейся без скольжения по окружности, называемой эволютой. Параметры зубчатых колёс.

        Основной теореме зацепления удовлетворяют различные кривые, в том числе эвольвента и окружность, по которым чаще всего изготавливают профили зубьев зубчатого колеса.

        В случае, если профиль зуба выполнен по эвольвенте, передача называется эвольвентной. 

Эвольвенту и эволюту характеризуют следующие геометрические свойства:

эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее;

эвольвента является разверткой эволюты, т.е. она описывается точкой прямой, которая перекатывается по эволюте без скольжения, поэтому радиус кривизны эвольвенты равен длине соответствующей дуги эволюты;

касательная к эволюте является нормалью к эвольвенте;

точка касания с эволютой нормали к эвольвенте является центром ее кривизны.

        Для передачи больших усилий с помощью зубчатых механизмов используют зацепление Новикова, в котором профиль зуба выполнен по окружности.

        Окружности, которые катятся в зацеплении без скольжения друг по другу, называются начальными (D).

        Окружности, огибающие головки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями головок (d1).

        Окружности, огибающие ножки зубьев зубчатых колёс, называются окружностями ножек (d2).

        Окружности, по которым катятся прямые, образующие эвольвенты зубьев первого и второго колёс, называются основными окружностями.

        Окружность, которая делит зуб на головку и ножку, называется делительной окружностью (D).

        Для нулевых (некорригированных) колёс начальная и делительная окружности совпадают.

        Расстояние между одноимёнными точками двух соседних профилей зубьев зубчатого колеса называется шагом по соответствующей окружности.

        Шаг можно определить по любой из пяти окружностей. Чаще всего используют делительный шаг p =2r/z, где z – число зубьев зубчатого колеса. Чтобы уйти от иррациональности в расчётах параметров зубчатых колёс, в рассмотрение вводят модуль, измеряемый в миллиметрах, равный

        Модуль зубчатого колеса, геометрический параметр зубчатых колёс. Для прямозубых цилиндрических зубчатых колёс модуль m равен отношению диаметра делительной окружности (D) к числу зубьев z или отношению шага p к числу "пи" .                

        Модуль зубчатого колеса стандартизованы, что является основой для стандартизации других параметров зубчатых колёс.

Основные формулы для расчета эвольвентного зацепления:

        Исходными данными для расчета как эвольвенты, так и зубчатого колеса являются следующие параметры: m - Модуль - часть диаметра делительной окружности приходящаяся на один зуб. Модуль - стандартная величина и определяется по справочникам. z - количество зубьев колеса. - угол профиля исходного контура. Угол является величиной стандартной и равной 20°.

Делительный диаметр рассчитывается по формуле:              D=mz 

Диаметр вершин зубьев рассчитывается по формуле:          d1=D+2m 

Диаметр впадин зубьев рассчитывается по формуле: d2=D-2*(c+m)

где с - радиальный зазор пары исходных контуров. Он определяется по формуле:

с = 0,25m 

Диаметр основной окружности, развертка которой и будет составлять эвольвенту, определяется по формуле:  d3 = cos  D 

 Изобразите делительный диаметр с диаметром D, и центром шестерни O. Окружность показана красным цветом. 

Изобразите диаметр вершин зубьев (d1) с центром в точке O с радиусом большим на высоту головки зуба(зелёного цвета).

Изобразите диаметр впадин зубьев (d2) с центром в точке O с радиусом меньшим на высоту ножки зуба (голубого цвета цвета).

1. Проведите касательную к делительному диаметру (желтая).
2. В точке касания под углом  проведите линию зацепления, оранжевого цвета. 
3. Изобразите окружность касательную к линии зацепления, и центром в точке O. Эта окружность является основной  и показана тёмно синего цвета.

1.  Отметьте точку A на диаметре вершин зубьев.
2. На прямой соединяющие точки A и O отметьте точку B находящуюся на основной окружности.
3. Разделите расстояние AB на 3 части и отметьте, точкой C, полученное значение от точки A в сторону точки B на отрезке AB.

1. От точки C проведите касательную к основной окружности.
2. В точке касания отметьте точку D.
3. Разделите расстояние DC на четыре части и отметьте, точкой E, полученное значение от точки D в сторону точки C на отрезке DC.

1. Изобразите дугу окружности с центром в точке E, что проходит через точку C. Это будет часть одной стороны зуба, показана оранжевым.
2. Изобразите дугу окружности с центром в точке H, радиусом, равным толщине зуба (s). Место пересечения с делительным диаметром отметьте точкой F. Эта точка находится на другой стороне зуба. 

1. Изобразите ось симметрии проходящую через центр О и середину расстояния FH.
2. Линия профиля зуба отображенная зеркально относительно этой оси и будет второй стороной зуба. 

Вот и готов профиль зуба прямозубого зубчатого колеса. В этом примере использовались следующие параметры:

1. Модуль m=5 мм
2. Число зубьев z=20 
3. Угол профиля исходного контура =200 

Расчетные данные:

1. Делительный диаметр D=100 мм 
2. Диаметр вершин зубьев d1=110 мм
3. Диаметр впадин зубьев d2=87.5 мм
4. Толщина зубьев по делительной окружности S=7.853975 мм

                Эвольвенту можно получить еще и таким способом: к концу нерастяжимой нити, намотанной в один слой на боковую поверхность неподвижного кругового цилиндра, прикрепить острие карандаша и провести линию по листу бумаги,  разматывания нити и перпендикулярному оси цилиндра

Профилирование боковой поверхности зубьев по эвольвенте впервые было предложено знаменитым математиком Леонардом Эйлером в 1754 г.

Зубья, профиль которых очерчен эвольвентой, относительно легко, просто и точно могут быть нарезаны на зуборезных станках простейшим режущим инструментом — гребенкой (инструментальная рейка, см. ниже) с прямолинейными режущими кромками. Эвольвентная система зацепления обеспечивает высокую прочность зубьев, простоту и удобство измерения параметров зацепления, взаимозаменяемость зубчатых колес при любых передаточных отношениях.

Зацепление эвольвентного зубчатого колеса с рейкой.

Понятие о корригировании

     Если увеличить диаметр основной окружности колеса до бесконечности, то зубчатое колесо превратится в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зубьев . При указанной модификации зубчатого колеса эвольвентный профиль зуба колеса превращается в трапециевидный профиль зуба основной рейки с углом профиля, равным 2а. Прямолинейный профиль зуба рейки удобен для измерения и изготовления режущего инструмента, применяемого при нарезании зубьев методом обкатки. Зацепление зубчатого колеса с рейкой дает возможность преобразовать вращательное движение колеса в поступательное движение рейки, и наоборот. Прямая CD, проходящая через полюс зацепления П и перекатывающаяся без скольжения по делительной окружности зубчатого колеса, называется начальной прямой.

      При нарезании зубьев инструментом реечного типа (гребенкой) некорригированное зацепление получается в том случае, когда начальная прямая рейки совпадает со средней линией профилей ее зубьев (средняя линия трапеции,). Если начальная прямая не совпадает со средней линией профиля зуба рейки, но параллельна ей, то нарезаемые ею зубья называются корригированными.

Коррекцией (корригированием) зубчатого зацепления называют преднамеренное изменение профилей зубьев (рабочий профиль зуба очерчивается различными участками эвольвенты в процессе зубона- резания), приводящее к изменению соотношения высоты головки и ножки зуба, а также угла зацепления.

Корригирование выполняют для повышения прочности и износостойкости зубьев и улучшения других качественных показателей зубчатого зацепления. Оно не сложнее и не дороже некорригированных зубчатых колес.

В 1955 г. д-ром техн. наук М. JI. Новиковым была создана новая, круговинтовая система зацепления, при которой зубья имеют начальный (без нагрузки) точечный контакт.

На рис. 59, а показаны зубчатые колеса с зацеплением Новикова, а на рис. 59, б—профилирование зубьев по кривым, близким к дугам окружности.

При одинаковых основных параметрах и качественных характеристиках (материал, термообработка) зубчатых колес круговинтовая система зацепления с круговым профилем зуба дает возможность увеличить нагрузочную способность передачи в 1, 4 ... 2 раза по сравнению с эвольвентой. Вследствие увеличения масляного слоя между зубьями при точечном контакте потери на трение в зацеплении зубчатых колес уменьшаются примерно в два раза по сравнению с потерями в эвольвентном зацеплении. Кроме того, благодаря точечному контакту значительно уменьшается влияние деформации вала на равномерность распределения нагрузки по длине зуба. Таким образом, круговинтовая (точечная) система зацепления оказывает благоприятное влияние не только на увеличение нагрузочной способности передачи, но и на повышение ее КПД и усталостной долговечности.

К достоинством зубчатых колес по системе зацепления Новикова следует отнести также возможность значительного увеличения передаточного отношения вследствие резкого сокращения количества

а

зубьев шестерни (теоретически доказана возможность изготовления передачи с одним зубом на шестерне).

Точечная система зацепления с круговым профилем зуба пригодна для передачи с параллельными, пересекающимися и скрещивающимися осями валов. На рис. 60, а показаны цилиндрические, а на рис. 60, б—конические зубчатые колеса с одной линией зацепления; профиль зуба шестерни выпуклый, а колеса—вогнутый. Передачи с двумя линиями зацепления (головки зубьев шестерни и колеса имеют выпуклый профиль, а ножки —вогнутый) обладают большей несущей способностью, менее чувствительны к смещению осей, работают с меньшим шумом и технологичнее передач с одной линией зацепления.

К недостаткам передач с зацеплением Новикова относится то, что они не допускают значительных колебаний нагрузки и перегрузок, а также обладают повышенной чувствительностью к изменению межосевого расстояния. Неодинаковые профили зубьев  шестерни и колеса (см. рис. 59, б и 60) требуют двух типоразмеров зуборезного инструмента при изготовлении одной зубчатой пары. Профилирование круговых профилей зубьев ведется по винтовой линии (а не по образующей, как это делается в прямозубых эвольвентных колесах) на начальной поверхности кругового цилиндра—это и создает ряд технических трудностей при изготовлении зубчатых колес рассматриваемой системы зацепления. Конечно, прямозубые передачи для этой системы зацепления невозможны (еа = 0).

Зубчатые колеса системы зацепления Новикова изготовляют на обычных зуборезных станках с помощью специальных червячных фрез. В настоящее время наша промышленность освоила выпуск редукторов с зубчатыми колесами зацепления Новикова.

Помимо указанных двух систем зацепления в специальных случаях (зубчатые колеса часов и точных приборов) применяют циклоидальную систему зацепления, которая обеспечивает высокую точность зацепления при существенном ограничении нагрузочной способности передачи.

Изготовление зубчатых колес. Применяемые материалы

Зубья колес нарезают на фрезерных или специальных зуборезных станках. Существует два основных способа нарезания зубьев: 1) копирование, осуществляемое на фрезерных станках с помощью дисковой (рис. 61, а) или пальцевой (рис. 61,6) фрез, режущие

кромки которых имеют профиль, соответствующий профилю впадины зуба; 2) обкатка, осуществляемая на зубофрезерных или зубострогальных станках с помощью соответствующего режущего инструмента— червячной фрезы (рис. 62, а), долбяка (рис. 62,6), инструментальной рейки-гребенки (рис. 62, в), находящихся в непрерывном зацеплении с заготовкой на всей стадии нарезания зубьев. Способ обкатки обеспечивает высокую производительность и достаточную точность изготовления зубчатых колес.

В последнее время в массовое производство внедряют метод горячей накатки зубьев, который производится на специальном зубонакатном станке, состоящем из двух валов, жестко связанных между собой делительной передачей. На один из валов насаживают валь- цевальное зубчатое колесо, а на другой—нагретую до температуры ковки заготовку. Валы перемещаются друг к другу под большим давлением; при этом вальцевальное колесо накатывает зубья на заготовке.

При массовом (крупносерийном) изготовлении зубчатых колес горячая накатка дает существенную экономию по сравнению с ранее рассмотренными методами нарезания зубьев. Недостаток —меньшая точность накатанных зубьев по сравнению с нарезанными.

После нарезания зубья могут быть подвергнуты окончательной обработке: шлифованию, шевингованию или притирке, обеспечивающим необходимые точность и шероховатость рабочих поверхностей зубьев.

Заготовки для изготовления зубчатых колес могут быть получены литьем, ковкой (штамповкой).

Зубчатые колеса изготовляют из углеродистой стали (Ст5, Стб, сталь 35; 45; 50; 50Г и др.), легированной стали (12ХНЗ; 15Х; 20Х; 35Х и др.), стального литья (35JI; 45JI; 55JI и др.), чугуна (СЧ 15—32; СЧ 18—36; СЧ 21—40 и др.), неметаллических материалов (текстолит, капрон, ДСП и т. п.) (см. табл. ПЗ, П21.П28).

Чугунные зубчатые колеса применяют в тихоходных передачах. Зубчатые колеса из неметаллических материалов работают в паре с металлическими и применяются для понижения шума быстроходных передач небольших мощностей.

К материалам, применяемым для изготовления зубчатых колес, предъявляют требования достаточной общей и поверхностной прочности, выносливости зубьев при изгибе, стойкости против абразивного износа и заедания. Указанным требованиям лучше всего удовлетворяют термически или термохимически обработанные стали.

Нормализация—нагрев материала до температуры, незначительно превышающей температуру верхней критической точки стали, выдержка и постепенное охлаждение на воздухе или вместе с печью. Нормализации подвергают качественные углеродистые и легированные стали, а также заготовки из стального литья. Она снимает литейные напряжения и наклеп (после ковки или штамповки) и обеспечивает получение равномерной структуры материала по всему объему заготовки.

Закалка (объемная и поверхностная) создает высокую твердость и прочность материала. Существенным недостатком объемной закалки является то, что подвергнутый ей материал не сохраняет вязкой сердцевины. В результате поверхностной закалки [для зубчатых колес малых и средних размеров—токами высокой частоты (ТВЧ), для зубчатых колес крупных размеров — в ацетиленовом пламени] сохраняется вязкая сердцевина при высокой твердости и прочности поверхностных слоев материала. Закалке подвергают качественные углеродистые или легированные стали. Углеродистые стали обыкновенного качества не закаливают.

Улучшение — закалка с последующим высокотемпературным отпуском. Нормализованные и улучшаемые стали (качественные углеродистые и легированные) обычно применяют для изготовления зубчатых колес индивидуального или мелкосерийного производства. Они хорошо поддаются чистовой обработке и хорошо прирабатываются.

Цементация—насыщение поверхностного слоя углеродом и закалка. Цементация существенно повышает твердость и несущую способность поверхностного слоя зубьев, обеспечивает высокую прочность на изгиб. Цементации обычно подвергают низкоуглеродистые стали: хромистые (15Х, 20X), хромоникелевые (12ХНЗА, 18Х2Н4МА, 20Х2Н4А) для ответственных зубчатых колес, работающих с перегрузками или ударными нагрузками, и безникелевые (18ХГТ, 25ХГТ, 15ХФ).

Азотирование—насыщение поверхностного слоя азотом. Обеспечивает особо высокую твердость и износостойкость поверхностных слоев зубьев. Для азотируемых колес обычно применяют молибденовую сталь 38Х2МЮА или стали 38Х2Ю и 35ХЮА, не содержащие молибдена. Расширяется применение мягкого азотирования, как более производительного процесса с использованием сталей 40Х2НМА, 40ХФА. В связи с минимальным короблением зубья после азотирования не шлифуют. Поэтому азотирование применяют для колес с внутренними зубьями и других деталей, шлифование которых затруднительно.

Недостатками азотированных колес являются малая толщина упрочненного слоя (0,2.. .0,5 мм), не позволяющая применять их при ударных нагрузках из-за опасности растрескивания упрочненного слоя и при работе с интенсивным износом (при загрязненной смазке, попадании лыли) из-за опасности стирания упрочненного слоя и быстрого выхода передачи из строя; длительность и дороговизна этого процесса.

Цианирование—насыщение поверхностного слоя углеродом и азотом в целях повышения его механических свойств. Цианированный слой имеет малую толщину и сравнительно легко разрушается при ударных нагрузках.

Зубья с твердостью рабочих поверхностей < НВ350 после термообработки допускают чистовое нарезание с высокой точностью. Они хорошо прирабатываются и не подвержены хрупкому разрушению при динамических нагрузках. При твердости  НВ350 нарезание зубьев затруднительно и они плохо прирабатываются. Поэтому их необходимо нарезать до термообработки. Последующая термообработка (особенно объемная закалка, цементация) вызывает значительное коробление зубьев, которое приходится исправлять дорогостоящими операциями — шлифовкой, притиркой, обкаткой и т. п.

Зубчатые колеса высокой твердости, обеспечивающие малогабаритные передачи с минимальной массой на единицу передаваемой мощности, широко применяют в крупносерийном производстве.

В правильно спроектированной зубчатой паре соотношение твердости рабочих поверхностей зубьев шестерни и колеса не может быть выбрано произвольно. Если твердость рабочих поверхностей зубьев колеса ^ НВ350, то в целях выравнивания долговечности зубьев, ускорения их прирабатываемости и повышения сопротивляемости заеданию твердость поверхностей зубьев шестерни назначается на НВ20.. .50 больше твердости зубьев колеса. Для неприрабатывающихся зубчатых передач с твердыми HRC45) рабочими поверхностями зубьев обоих зубчатых колес обеспечивать разность твердостей зубьев шестерни и колеса не требуется.

Зубчатые передачи общего машиностроения обычно изготовляют по 6...8-й степеням точности (из 12, причем 1-я —наивысшая).

3.2. Динамика Основные понятия и аксиомы динамики.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Аксиомы динамики

1. Закон инерции (І закон Галилея). 
   Равномерное и прямолинейное движение точки или тела происходит лишь в том случае, когда на точку или тело действует уравновешенная система сил.

Инертность - способность тела сохранять скорость своего движения неизменной, т.е. сохранять полученное ранее механическое движение.

Движение, которое совершает точка при отсутствии сил, называется движением по инерции. Сила инерции – сила равная произведению массы точки на её ускорение, но направлена в сторону противоположную ускорению.

2. Основной закон динамики точки(закон Ньютона)Модуль силы, приложенной к материальной точке, равен произведению массы точки на модуль ее ускорения.

F=m a

Если точка находится под действием силы тяжести G,  то m=G/g  

Масса тела - количество вещества, содержащееся в этом теле(по определению Ньютона).

3.Закон равенства действия и противодействия  Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой (соединяющей эти точки) в противоположные точки

4. Закон независимости действия сил

.

Принцип Даламбера    (метод кинетостатики)

активные силы, реакции связей и сила инерции образуют уравновешенную систему сил.

1)выделить точку, движение которой рассматривается;

2)выявить все активные силы и изобразить их, приложенными к точке на рисунке;

3)освободить точку от связей, заменить их реакциями и показать на рисунке;

4) добавить к полученной системе сил силу инерции, направленную противоположно ускорению;

5) рассмотреть полученную уравновешенную систему сил, составить уравнение равновесия

Работа и мощность. Работа постоянной силы при прямолинейном движении.

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна произведению модуля силы на  перемещение S и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения:

W= FS cosα 

Силы, направление которых составляет острый угол с направлением движения их точки приложения, совершают положительную работу.

Работа силы тяжести равна  произведению силы тяжести на  вертикальное перемещение её точки  приложения т.е.на высоту.

 . Работа силы тяжести.  (+) - тело опускается (-) - тело поднимается.

Мощность.

Единицы измерения работы и мощности. .  

Мощность – Работа, совершаемая в единицу времени.

Единица измерения мощности 1Вт = 1 Дж/с. 

Мощность силы равна произведению модуля силы, модуля скорости точки ее приложения и косинуса угла между направлениями силы и скорости точки ее приложения.   

Работа и мощность при вращательном движении.

Задача. Определить вращающий момент электродвигателя мощностью 4,4 кВт при скорости вращения ротора п=1200 мин-1. Ответ 35 Нм.

1.Что изучает динамика? В чем различие между кинематикой и динамикой?

2.  Что называется массой тела? Какова ее единица?

3.  Что называется силой инерции материальной точки? Как ее определить?

4.  В чем сущность принципа Даламбера, как он формулируется и каково его практическое значение?

5.  Как определяется работа постоянной силы при прямолинейном движении? Каковы ее единицы?

6.  Как определяется работа силы тяжести?

7.  Что такое мощность? Каковы ее единицы?

8.  Как определяют работу и мощность при вращательном движении?

9.  Что называется механическим коэффициентом  полезного действия, как он определяется?

Кинематика точки и твердого тела

1. Основные понятия кинематики

1.1. Способы задания движения точки

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Системой отсчета называется реальное или условное твердое тело, по отношению к которому определяется положение других движимых тел.

Естественный способ задания движения. Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

Закон движения точки вдоль траектории выражается уравнением S = f(t).

Чтобы задать движение точки естественным способом, надо знать:

1) траекторию точки;

2) начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета;

3) закон движения точки вдоль траектории в виде S = f(t).

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния точки по времени:

Численная величина ускорения точки в данный момент времени равна первой производной от скорости:

Координатный способ задания движения

Закон движения точки при координатном способе выражается уравнениями:

x = f1(t);      y = f2(t);      z = f3(t).

Проекции скорости на оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:

            ;

Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от проекций скоростей или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

            ;

1.2. Касательное и нормальное ускорения точки

Проекция ускорения точки на касательную к ее траектории называется касательным или тангенциальным ускорением аτ.

Проекция ускорения на нормаль называется нормальным ускорением аτ.

Касательное и нормальное ускорение рассматривают не как проекции, а как составляющие полного ускорения, т. е. как векторные величины, и полное ускорение будет равно

Касательная составляющая направлена по касательной, как и вектор скорости V, а поэтому не может влиять на направление скорости, но влияет на ее величину.

Нормальная составляющая направлена перпендикулярно к вектору скорости, а поэтому не может влиять на величину скорости, но влияет на ее направление.

, где ρ – радиус кривизны.

2. Поступательное и вращательное движения твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной самой себе.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение a – ускорением поступательного движения.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором любые две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.

Прямая, проходящая через две неподвижные точки, называется осью вращения.

Уравнение γ = f(t) выражает закон вращательного движения твердого тела, где γ – угол поворота тела.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени:

ω =

Угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени:

ε =

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает – замедленным.

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (ω = const), то вращение тела называется равномерным.

Если угловое ускорение тела во все время движения постоянно (ε = const), то вращение называется равнопеременным.

Линейная скорость точки v вращающегося твердого тела численно равна произведению угловой скорости тела ω на расстояние R от этой точки до оси вращения.

v = ωR.

Линейная скорость направлена по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно к плоскости, проходящей через ось вращения.

Так как для всех точек тела угловая скорость ω имеет в данный момент одно и то же значение, то следует, что линейные скорости точек вращающего тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения .

Касательное ускорение aτ направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно, или в обратную сторону, если тело вращается замедленно); нормальное ускорение an всегда направлено по радиусу R к оси вращения.

aτ = ε R       an = ω2 R

Полное ускорение точки равно a = R.

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле:

 или .

3. Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Уравнения xA = f1(t); yA = f2(t); γ = f3(t), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела .

Плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс A, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса vпост. = vA , а = aA, а также угловая скорость ω и угловое ускорение ε вращательного движения вокруг полюса.

Скорость любой точки М геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости vM находятся построением соответствующего параллелограмма

Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу .

vB cosβ = vA cosα

Мгновенным центром скоростей называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю .

Скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна ее вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей Р.

vA = ω ∙ PA   (vA ⊥ PA)

vB = ω ∙ PB   (vB ⊥ PB)

Скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей:

Свойства плоскопараллельного движения

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей vA и vB каких-нибудь двух точек А и В сечения тела; мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-либо одной точки А тела и направление скорости другой его точки В.

3. Угловая скорость тела равна в каждый момент времени отношению скорости какой-либо точки сечения S к ее расстоянию от мгновенного центра Р.

Частные случаи определения мгновенного центра скоростей

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижно, то точка касания Р  имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, и, следовательно, является мгновенным центром скоростей (vp = 0).

2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к vA , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны vA. Следовательно, скорости всех точек тела в данный момент времени равны друг другу и по модулю и по направлению, т. е. тело имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют мгновенно поступательным). Угловая скорость тела в этот момент времени равна нулю.

3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к vA, то мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 21в. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо, кроме направлений, знать еще и модули скоростей vA и vВ.

4. Если известен вектор скорости vВ какой-нибудь точки сечения S и угловая скорость ω, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к vB , можно найти из равенства

, отсюда

Ускорение любой точки М тела геометрически складывается из ускорения какой-либо другой точки, принятой за полюс, и ускорения точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения aM находятся построением соответствующего параллелограмма .

Вектор  направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор  всегда направлен от точки М к полюсу А .