Нестандартные приемы решения уравнений с модулями

Нестандартные приемы решения уравнений с модулями.

«Умный гору обойдет».

              Зачастую, по закону зловредности ,короткое  решение более замаскировано,  чем длинное. В тех случаях, когда выбранный путь решения сопряжен с большими техническими сложностями, бывает полезно еще раз проанализировать условие задачи, попытаться найти ее конкретные особенности, позволяющие обнаружить    нетрадиционную идею.

           Когда модуль можно не раскрывать.

      Решение некоторых уравнений может значительно сократить знание ряда свойств      модуля:

            1.  |a|+|b| = a+b ⬄ a≥0, b≥0;

2.  |a| + |b| = |a+b| ⬄ ab≥0;

3.  |a| + |b| = |a-b| ⬄ ab≤0;

4.  |a| - |b| = |a-b|⬄ b (a-b) ≥0;

5.  |a| - |b| = |a+b| ⬄ b(a+b) ≤0

Пример 1.

           |x²-1|+|x²-4|=3.                

Если посмотреть внимательно, то можно заметить,  что

        (x²-1) – (x²-4) = 3,  т.е. выполняется условие |a|+|b| = |a-b|.

Применив свойство 3, получим неравенство

           (x²-1) (x²-4)≤0.

Решим его методом интервалов.

           x²-1=0,  x₁=1,  x₂=-1

           x²-4=0,  x₃=2,  x₄=-2.

x є [-2;-1] U [1;2].

                              Ответ: [-2;-1] U [1;2].

Пример 2.

|x-2|+|2-3x|=2|x|

Заметим, что |x-2|+|2-3x| = |(x-2)+(2-3x)|=|-2x|=2|x|, т.е. выполняется условие

|a|+|b|=|a+b|.

Используя свойство 2, будем иметь неравенство:

        (x-2)(2-3x)≥0,

        (x-2)(x-2/3)≤0.

x є [2/3;2]

                Ответ: [2/3;2].

Пример 3.

|x²+6|-|x²-x+6|=|x|

Имеем: |x²+6|-|x²-x+6|=|(x²+6)-(x²-x+6)|=|x|, т.е выполняется условие

|a|-|b|=|a-b|.

Использую свойство 4, получим неравенство x (x²-x+6)≥0

Решив его, получим   x≥0.

                                            Ответ:  [0;+∞)