Математика — это наука, исторически основанная на решении задач о количественных и пространственных соотношениях реального мира путём идеализации необходимых для этого свойств объектов и формализации этих задач. В современной математике идеализированные свойства исследуемых объектов и процессов формулируются в виде аксиом, затем по строгим правилам логического вывода из них выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Т.о. первоначально исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причем некоторые из них занимают пограничное к математике положение - в частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук и как часть математических наук, механика – и физика и математика, программирование, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т.д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. секцию “Определения”).
Слово «математика» произошло от греч. μάθημα, означающего «науку, знание, изучение», и греч. μαθηματικός, означающего «любовь к познанию».
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт:
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
В советское время классическим считалось определение из БСЭ, данное А. Н. Колмогоровым:
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение Энгельса; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Формулировка Бурбаки:
Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Приведём ещё несколько современных определений.
Современная теоретическая («чистая») математика — это наука о математических структурах, математических инвариантах различных систем и процессов».
Математика — наука, предоставляющая возможность исчисления моделей, приводимых к стандартному (каноническому) виду. Наука о нахождении решений аналитических моделей (анализ) средствами формальных преобразований.
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддается рационализации и не может быть объективным.